Determine o ponto da curva y = 3 I > 0 mais próximo da origem.

Passo 1

Vamos entender o que o problema pede. Temos uma curva definida pela equação com . Queremos encontrar qual ponto dessa curva está mais próximo da origem, que é o ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar uma expressão para a distância entre um ponto qualquer na curva e a origem . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Aqui, queremos a distância entre e , então a fórmula fica:

Passo 3

Como a curva é dada por , podemos substituir na fórmula da distância:
Como , podemos simplificar para:

Passo 4

Queremos encontrar o valor de que minimiza essa distância . Como é uma constante positiva, minimizar é equivalente a minimizar . Dado que , o menor valor possível para é próximo de zero.
Portanto, o ponto mais próximo da origem na curva ocorre quando tende a zero. Substituindo na equação da curva , temos .

Resposta

O ponto da curva mais próximo da origem é .

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