Determine o ponto da curva
> 0 mais próximo da origem.
Passo 1
Vamos entender o que o problema pede. Temos uma curva definida pela equação
com
. Queremos encontrar qual ponto dessa curva está mais próximo da origem, que é o ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar uma expressão para a distância entre um ponto qualquer
na curva e a origem
. A fórmula da distância
entre dois pontos
e
é:
Aqui, queremos a distância entre
e
, então a fórmula fica:
Passo 3
Como a curva é dada por
, podemos substituir
na fórmula da distância:
Como
, podemos simplificar para:
Passo 4
Queremos encontrar o valor de
que minimiza essa distância
. Como
é uma constante positiva, minimizar
é equivalente a minimizar
. Dado que
, o menor valor possível para
é próximo de zero.
Portanto, o ponto mais próximo da origem na curva ocorre quando
tende a zero. Substituindo
na equação da curva
, temos
.
Resposta
O ponto da curva mais próximo da origem é
.