Dtermine o retângulo de área máxima e lados paralelos aos eixos coordenados inscrito ua clipse
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o retângulo de área máxima cujos lados são paralelos aos eixos coordenados e que está inscrito na elipse
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente otimização, para maximizar a área do retângulo dentro dessa elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da elipse:
. Isso significa que a elipse está centrada na origem (0,0) e se estende até
e
. Agora, imagine um retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito nessa elipse. Vamos chamar as coordenadas de um dos vértices desse retângulo de
. Como o retângulo é simétrico, o outro vértice será
.
Passo 3
A área
do retângulo pode ser expressa como:
Nosso objetivo é maximizar essa área
. Mas, temos uma restrição: o ponto
deve estar na elipse, ou seja:
Podemos usar essa equação para expressar
em função de
:
Passo 4
Substituindo
na expressão da área:
Agora, para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora que encontramos
, vamos calcular
usando a equação da elipse:
Resposta
O retângulo de área máxima inscrito na elipse
tem os vértices em
e
, com uma área máxima de
.