Dtermine o retângulo de área máxima e lados paralelos aos eixos coordenados inscrito ua clipse 422 + y* = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o retângulo de área máxima cujos lados são paralelos aos eixos coordenados e que está inscrito na elipse . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente otimização, para maximizar a área do retângulo dentro dessa elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da elipse: . Isso significa que a elipse está centrada na origem (0,0) e se estende até e . Agora, imagine um retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito nessa elipse. Vamos chamar as coordenadas de um dos vértices desse retângulo de . Como o retângulo é simétrico, o outro vértice será .

Passo 3

A área do retângulo pode ser expressa como:
Nosso objetivo é maximizar essa área . Mas, temos uma restrição: o ponto deve estar na elipse, ou seja:
Podemos usar essa equação para expressar em função de :

Passo 4

Substituindo na expressão da área:
Agora, para encontrar o valor de que maximiza , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora que encontramos , vamos calcular usando a equação da elipse:

Resposta

O retângulo de área máxima inscrito na elipse tem os vértices em e , com uma área máxima de .

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