Determine o ponto do eixo
cuja soma das distâncias aos pontos
e
seja mínima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar um ponto no eixo
cuja soma das distâncias até os pontos
e
seja a menor possível. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente distâncias entre pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se tivermos dois pontos
e
, a distância
entre eles é dada pela fórmula:
Passo 3
Como estamos buscando um ponto no eixo
, ele terá a forma
, já que no eixo
, a coordenada
é sempre zero. Nosso objetivo é minimizar a soma das distâncias de
até
e
.
Passo 4
Vamos chamar a soma das distâncias de
:
Onde:
Então:
Passo 5
Para minimizar
, podemos usar o conceito de reflexão. Imagine refletir um dos pontos em relação ao eixo
. Vamos refletir o ponto
para obter
.
Passo 6
Agora, a soma das distâncias
é equivalente à distância
. Achamos isso refletindo
para
, e então a menor soma ocorre quando
está na interseção da linha que une
e
com o eixo
.
Passo 7
Vamos encontrar a equação da reta que passa por
e
. Primeiro, calculamos o coeficiente angular
:
Então, a equação da reta é:
Passo 8
Para encontrar o ponto
no eixo
, fazemos
:
Resposta
O ponto no eixo
que minimiza a soma das distâncias aos pontos
e
é
.
Exercícios relacionados
Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Inscreva numa esfera de raio
:
(a) um cilindro de área lateral máxima.
(b) um cone de volume máximo. um cone de área lateral máxima.
(a) um cilindro de área lateral máxima.
(b) um cone de volume máximo. um cone de área lateral máxima.
Sejam
e
duas funções tais que
e
. Determine a reta tangente ao gráfico de
em
.
Encontre, utilizando propriedades do cálculo de derivadas, a função
em cada um dos itens abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Comentário: Aqui deve-se usar as regras de derivação apresentadas em sala de aula. Por exemplo, no caso (d), temos que pode ser escrita como
, onde
. Daí, temos que
. Como
, segue que
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Comentário: Aqui deve-se usar as regras de derivação apresentadas em sala de aula. Por exemplo, no caso (d), temos que