Determine o ponto do eixo x cuja soma das distâncias aos pontos A = (4, -5) e B = (-2, 3) seja mínima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar um ponto no eixo cuja soma das distâncias até os pontos e seja a menor possível. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente distâncias entre pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se tivermos dois pontos e , a distância entre eles é dada pela fórmula:

Passo 3

Como estamos buscando um ponto no eixo , ele terá a forma , já que no eixo , a coordenada é sempre zero. Nosso objetivo é minimizar a soma das distâncias de até e .

Passo 4

Vamos chamar a soma das distâncias de :
Onde:
Então:

Passo 5

Para minimizar , podemos usar o conceito de reflexão. Imagine refletir um dos pontos em relação ao eixo . Vamos refletir o ponto para obter .

Passo 6

Agora, a soma das distâncias é equivalente à distância . Achamos isso refletindo para , e então a menor soma ocorre quando está na interseção da linha que une e com o eixo .

Passo 7

Vamos encontrar a equação da reta que passa por e . Primeiro, calculamos o coeficiente angular :
Então, a equação da reta é:

Passo 8

Para encontrar o ponto no eixo , fazemos :

Resposta

O ponto no eixo que minimiza a soma das distâncias aos pontos e é .

Exercícios relacionados