Determine o ponto do eixo cuja soma das distâncias aos pontos e seja mínima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar um ponto no eixo cuja soma das distâncias até os pontos e seja a menor possível. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente distâncias entre pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se tivermos dois pontos e , a distância entre eles é dada pela fórmula:

Passo 3

Como estamos buscando um ponto no eixo , ele terá a forma , já que no eixo , a coordenada é sempre zero. Nosso objetivo é minimizar a soma das distâncias de até e .

Passo 4

Vamos chamar a soma das distâncias de :
Onde:
Então:

Passo 5

Para minimizar , podemos usar o conceito de reflexão. Imagine refletir um dos pontos em relação ao eixo . Vamos refletir o ponto para obter .

Passo 6

Agora, a soma das distâncias é equivalente à distância . Achamos isso refletindo para , e então a menor soma ocorre quando está na interseção da linha que une e com o eixo .

Passo 7

Vamos encontrar a equação da reta que passa por e . Primeiro, calculamos o coeficiente angular :
Então, a equação da reta é:

Passo 8

Para encontrar o ponto no eixo , fazemos :

Resposta

O ponto no eixo que minimiza a soma das distâncias aos pontos e é .

Exercícios relacionados

Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Inscreva numa esfera de raio :
(a) um cilindro de área lateral máxima.
(b) um cone de volume máximo. um cone de área lateral máxima.
Sejam e duas funções tais que e . Determine a reta tangente ao gráfico de em .
Encontre, utilizando propriedades do cálculo de derivadas, a função em cada um dos itens abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Comentário: Aqui deve-se usar as regras de derivação apresentadas em sala de aula. Por exemplo, no caso (d), temos que pode ser escrita como , onde . Daí, temos que . Como , segue que .