Determine o ponto do eixo
cuja soma das distâncias aos pontos
e
seja mínima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar um ponto no eixo
cuja soma das distâncias até os pontos
e
seja a menor possível. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente distâncias entre pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se tivermos dois pontos
e
, a distância
entre eles é dada pela fórmula:
Passo 3
Como estamos buscando um ponto no eixo
, ele terá a forma
, já que no eixo
, a coordenada
é sempre zero. Nosso objetivo é minimizar a soma das distâncias de
até
e
.
Passo 4
Vamos chamar a soma das distâncias de
:
Onde:
Então:
Passo 5
Para minimizar
, podemos usar o conceito de reflexão. Imagine refletir um dos pontos em relação ao eixo
. Vamos refletir o ponto
para obter
.
Passo 6
Agora, a soma das distâncias
é equivalente à distância
. Achamos isso refletindo
para
, e então a menor soma ocorre quando
está na interseção da linha que une
e
com o eixo
.
Passo 7
Vamos encontrar a equação da reta que passa por
e
. Primeiro, calculamos o coeficiente angular
:
Então, a equação da reta é:
Passo 8
Para encontrar o ponto
no eixo
, fazemos
:
Resposta
O ponto no eixo
que minimiza a soma das distâncias aos pontos
e
é
.