Inscreva numa esfera de raio :
(a) um cilindro de área lateral máxima.
(b) um cone de volume máximo. um cone de área lateral máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera com raio e precisamos inscrever nela:
(a) Um cilindro com a área lateral máxima.
(b) Um cone com o volume máximo e um cone com a área lateral máxima.
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de geometria e cálculo, como maximização de funções. Vamos por partes!
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): encontrar um cilindro inscrito na esfera que tenha a área lateral máxima.
Imagine um cilindro dentro de uma esfera. A área lateral do cilindro é a área das laterais, sem contar as bases. A fórmula para a área lateral de um cilindro é:
Onde:
é o raio da base do cilindro.
é a altura do cilindro.
Como o cilindro está inscrito na esfera de raio , existe uma relação entre , e . Pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelo raio da esfera, o raio do cilindro e metade da altura:
Vamos resolver essa equação para expressar em termos de :
Agora, substituímos na fórmula da área lateral:
Para encontrar o valor de que maximiza , vamos derivar essa função em relação a e igualar a zero.
Passo 3
Calculando a derivada da área lateral em relação a :
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Agora, encontramos . Vamos encontrar usando a relação anterior:
Passo 4
Agora vamos para a parte (b): encontrar um cone inscrito na esfera que tenha o volume máximo e outro que tenha a área lateral máxima.
Primeiro, vamos considerar o cone de volume máximo.
A fórmula do volume de um cone é:
Onde:
é o raio da base do cone.
é a altura do cone.
Como o cone está inscrito na esfera, usamos o Teorema de Pitágoras novamente:
Vamos expressar em termos de :
Substituindo na fórmula do volume:
Para maximizar , derivamos em relação a e igualamos a zero.
Passo 5
Calculando a derivada do volume em relação a :
Igualando a derivada a zero:
Resolvendo para :
Agora, encontramos . Vamos encontrar :
Passo 6
Agora, vamos encontrar o cone inscrito na esfera que tem a área lateral máxima.
A área lateral de um cone é dada por:
Onde:
é o raio da base.
é a geratriz do cone.
A geratriz é a distância do vértice até um ponto na base, e está relacionada com a altura e o raio pela relação:
Como o cone está inscrito na esfera, temos:
Podemos expressar em termos de :
Substituindo na expressão de :
Agora, substituindo na fórmula da área lateral:
Para encontrar o que maximiza , vamos derivar essa função em relação a e igualar a zero.
Passo 7
Calculando a derivada da área lateral em relação a :
Igualando a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por :
Encontramos o valor de . Agora, vamos calcular :
E a geratriz:
Resposta
(b) O cone inscrito na esfera de raio que possui a área lateral máxima tem raio da base , altura e geratriz .