Determine o ponto A no eixo O X de modo que os vetores u=(1,3) e v=A B sejam múltiplos um do outro, sendo:
a) B=(2,-2)
b) B=(0,2)
c) B=(-3,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos achar o ponto no eixo de forma que os vetores e sejam múltiplos um do outro. Isso significa que e são colineares, ou seja, um é um múltiplo do outro. Para resolver, vamos usar a ideia de vetores e proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o ponto está no eixo , então suas coordenadas serão , pois qualquer ponto no eixo tem a coordenada .

Passo 3

O vetor AB = (xB - x, yB - 0) = (xB - x, yB) é dado pela diferença das coordenadas de e . Se e , então:

Passo 4

Como queremos que AB = lambda u e (xB - x, yB) = lambda (1, 3) sejam múltiplos, existe um escalar xB - x = lambda cdot 1 e yB = lambda cdot 3 tal que:
Ou seja:
Isso nos dá duas equações:

Passo 5

Vamos resolver para cada caso:

a) -2 = lambda cdot 3 implies lambda = -23

Aqui, 2 - x = -23 implies x = 2 + 23 = 83 e 2 = lambda cdot 3 implies lambda = 23 .
Da segunda equação:
0 - x = 23 implies x = -23
Substituindo na primeira equação:
2 = lambda cdot 3 implies lambda = 23
Então, -3 - x = 23 implies x = -3 - 23 = -113 .

b)

Aqui, e .
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, .

c)

Aqui, e .
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Resposta

a)
b)
c)

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