Encontre equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (-1,2,-5) e é paralela à reta r: x-12=y+3=z+2-3 s: lx=-1+2 t y=3+3) z=2-3 t
V=eta, VOmega=|ccc1 & 1 & k 0 & 1 & 0 2 & 0 & -3|=lambda=(2,1,-3 VOmega=(2,0,-3)
(-1,2,5)
(x, y, z)=(-1,2,-5)+(2,1,-3)
x=-1 t
& y=2 & z=-5 R: l y=2 z=-5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto (-1, 2, -5) e é paralela a outra reta já definida. A matéria que estamos mexendo aqui é geometria analítica no espaço, especificamente sobre retas e suas equações paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar identificar o vetor diretor da reta dada e usar o ponto fornecido para montar as novas equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta que já foi dada no enunciado. A reta r está definida pelas equações:
x - 12 = y + 3 = z + 2-3
Essas são as equações simétricas da reta. Para encontrar as equações paramétricas, precisamos isolar cada variável em função de um parâmetro, que geralmente chamamos de t. Observando as equações, podemos escrever:
x = 1 + 2t y = -3 + t z = -2 - 3t
Aqui, o vetor diretor da reta r é (2, 1, -3). Esse vetor indica a direção em que a reta se move no espaço.

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor da reta r, e sabemos que a reta que queremos encontrar deve ser paralela a r, podemos concluir que o vetor diretor da nossa reta também será (2, 1, -3). Isso porque retas paralelas têm vetores diretores proporcionais.

Passo 4

Sabendo que nossa reta passa pelo ponto P(-1, 2, -5) e tem o vetor diretor (2, 1, -3), podemos usar a fórmula das equações paramétricas de uma reta no espaço:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Onde (x0, y0, z0) é um ponto da reta e (a, b, c) é o vetor diretor.

Passo 5

Aplicando os valores que temos:
  • Ponto P(-1, 2, -5): então x0 = -1, y0 = 2, z0 = -5.
  • Vetor diretor (2, 1, -3): então a = 2, b = 1, c = -3.
Substituindo na fórmula:
x = -1 + 2t y = 2 + 1t z = -5 - 3t

Passo 6

Simplificando as equações, podemos escrever:
x = -1 + 2t y = 2 + t z = -5 - 3t
Essas são as equações paramétricas da reta que procuramos.

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = -1 + 2t y = 2 + t z = -5 - 3t

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