Suponha que u times v cdot w=2. Calcule:
(u+v+w) times(v+w) cdot v;

Passo 1

O enunciado nos apresenta um problema de Álgebra Vetorial, especificamente envolvendo produto vetorial e produto escalar. Precisamos calcular a expressão (u+v+w) times (v+w) cdot v, sabendo que u times v cdot w=2. Para resolver, vamos usar as propriedades dos produtos vetorial e escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto vetorial (u+v+w) times (v+w). Lembrando que o produto vetorial é distributivo, temos:
(u + v + w) times (v + w) = u times v + u times w + v times v + v times w + w times v + w times w

Passo 3

Sabemos que o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero, ou seja, v times v = 0 e w times w = 0. Assim, simplificando a expressão:
u times v + u times w + v times w + w times v

Passo 4

Observamos que w times v = -(v times w) devido à propriedade antissimétrica do produto vetorial. Portanto, v times w + w times v = 0. A expressão simplifica para:
u times v + u times w

Passo 5

Agora, temos que calcular o produto escalar desse resultado com v:
(u times v + u times w) cdot v = u times v cdot v + u times w cdot v

Passo 6

Sabemos que o produto escalar entre um vetor e o produto vetorial dele com outro vetor é sempre zero, ou seja, u times v cdot v = 0. Assim, a expressão fica:
0 + u times w cdot v = u times w cdot v

Passo 7

A expressão u times w cdot v é um produto misto que pode ser reescrito ciclicamente como u times v cdot w. Sabemos pelo enunciado que u times v cdot w = 2. Portanto:
u times w cdot v = 2

Resposta

O valor da expressão (u+v+w) times (v+w) cdot v é 2.

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