Verifique se os pontos dados a seguir são colineares, isto é, pertencem a uma mesma reta:
(b) A(-1,1,3), B(4,2,-3) e C(14,4,-15)
& A B=B-A=(4,2,-3)-(-1,1,3)=(5,36) & A C=C-A=(14,4,-15)-(-1,1,3)=(13,3,-12) & A B, A C=(ccc|cc 1 & 1 & k & 1 & 1 5 & 3 & 6 & 3 & 3 13 & 3 & -12 & 13 & 3 =1-36 176 k 15 (k-39 4-16 p36 )=(-3,62,-21)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se os pontos , e estão colineares, ou seja, se eles estão todos na mesma reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente vetores no espaço. Precisaremos calcular os vetores que ligam esses pontos e verificar se eles são múltiplos entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que conectam o ponto AB = B - A = (4 - (-1), 2 - 1, -3 - 3) = (5, 1, -6) aos pontos AC = C - A = (14 - (-1), 4 - 1, -15 - 3) = (15, 3, -18) e . Esses vetores são dados por:

Passo 3

Agora que temos os vetores AC = k cdot AB e 15 = k cdot 5 (1) , vamos verificar se eles são paralelos. Se eles forem paralelos, isso significa que um é múltiplo escalar do outro, indicando que os pontos estão na mesma reta.
Para isso, vamos ver se existe um número real 3 = k cdot 1 (2) tal que:
-18 = k cdot (-6) (3)
Vamos comparar as componentes correspondentes dos vetores:

Passo 4

Resolvendo a equação (1):
15 = 5k implies k = 155 = 3
Agora, verificamos se esse valor de 3 = 1 cdot 3 implies 3 = 3 Verdade! funciona nas outras equações.
Na equação (2):
-18 = (-6) cdot 3 implies -18 = -18 Também é verdadeira!
Na equação (3):
éé

Resposta

Como encontramos um valor de que satisfaz todas as equações, os vetores e são múltiplos entre si. Portanto, os pontos , e são colineares, ou seja, pertencem à mesma reta.

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