Determine o ponto equidistante de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta pede para encontrar um ponto que está na mesma distância dos três pontos A(1, 7), B(8, 6) e C(7, −1). Isso faz parte da geometria analítica, onde lidamos com coordenadas no plano. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre pontos e descobrir as bissetrizes dos lados do triângulo formado por A, B e C. A ideia é encontrar onde essas bissetrizes se encontram, que será o ponto equidistante que estamos procurando.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto médio de dois lados do triângulo para facilitar a construção das bissetrizes. Vamos escolher os lados AB e AC.
Para encontrar o ponto médio entre dois pontos
e
, usamos a fórmula:
Calculando o ponto médio de AB:
E o ponto médio de AC:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação (coeficiente angular) das retas AB e AC para determinar a inclinação das bissetrizes, que são perpendiculares a essas retas.
A fórmula para a inclinação entre dois pontos
e
é:
Calculando a inclinação de AB:
A inclinação da bissetriz perpendicular a AB será o negativo do inverso de
:
Fazendo o mesmo para AC:
A inclinação da bissetriz perpendicular a AC será:
Passo 4
Agora, vamos escrever as equações das bissetrizes usando a forma da equação da reta:
Onde
é o ponto médio e
é a inclinação que acabamos de encontrar.
Para a bissetriz de AB passando por
:
Para a bissetriz de AC passando por
:
Passo 5
Agora precisamos encontrar o ponto onde essas duas bissetrizes se encontram, ou seja, resolver o sistema de equações:
Igualando as duas expressões para
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora substituímos
na equação
:
Resposta
O ponto equidistante dos pontos A(1, 7), B(8, 6) e C(7, −1) é
.
Exercícios relacionados
Calcular a matriz X para cada um dos casos abaixo:
Dois vértices de um triângulo equilátero são
e
. Determine as coordenadas do terceiro vértice.
Calcular a matriz X para cada um dos casos abaixo:
Determine o ponto equidistante de: