Determine o ponto equidistante de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta pede para encontrar um ponto que está na mesma distância dos três pontos A(1, 7), B(8, 6) e C(7, −1). Isso faz parte da geometria analítica, onde lidamos com coordenadas no plano. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre pontos e descobrir as bissetrizes dos lados do triângulo formado por A, B e C. A ideia é encontrar onde essas bissetrizes se encontram, que será o ponto equidistante que estamos procurando.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio de dois lados do triângulo para facilitar a construção das bissetrizes. Vamos escolher os lados AB e AC.
Para encontrar o ponto médio entre dois pontos e , usamos a fórmula:
Calculando o ponto médio de AB:
E o ponto médio de AC:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação (coeficiente angular) das retas AB e AC para determinar a inclinação das bissetrizes, que são perpendiculares a essas retas.
A fórmula para a inclinação entre dois pontos e é:
Calculando a inclinação de AB:
A inclinação da bissetriz perpendicular a AB será o negativo do inverso de :
Fazendo o mesmo para AC:
A inclinação da bissetriz perpendicular a AC será:

Passo 4

Agora, vamos escrever as equações das bissetrizes usando a forma da equação da reta:
Onde é o ponto médio e é a inclinação que acabamos de encontrar.
Para a bissetriz de AB passando por :
Para a bissetriz de AC passando por :

Passo 5

Agora precisamos encontrar o ponto onde essas duas bissetrizes se encontram, ou seja, resolver o sistema de equações:
Igualando as duas expressões para :
Subtraindo de ambos os lados:
Agora substituímos na equação :

Resposta

O ponto equidistante dos pontos A(1, 7), B(8, 6) e C(7, −1) é .

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Determine o ponto equidistante de: