Determine o ponto equidistante de:
A(1,7), B(8,6), C(7,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta pede para encontrar um ponto que está na mesma distância dos três pontos A(1, 7), B(8, 6) e C(7, −1). Isso faz parte da geometria analítica, onde lidamos com coordenadas no plano. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre pontos e descobrir as bissetrizes dos lados do triângulo formado por A, B e C. A ideia é encontrar onde essas bissetrizes se encontram, que será o ponto equidistante que estamos procurando.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio de dois lados do triângulo para facilitar a construção das bissetrizes. Vamos escolher os lados AB e AC.
Para encontrar o ponto médio entre dois pontos M = ( x1 + x22, y1 + y22 ) e MAB = ( 1 + 82, 7 + 62 ) = ( 92, 132 ) = (4,5.5) , usamos a fórmula:
MAC = ( 1 + 72, 7 + (-1)2 ) = ( 82, 62 ) = (4,3)
Calculando o ponto médio de AB:
E o ponto médio de AC:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação (coeficiente angular) das retas AB e AC para determinar a inclinação das bissetrizes, que são perpendiculares a essas retas.
A fórmula para a inclinação entre dois pontos m = y2 - y1x2 - x1 e mAB = 6 - 78 - 1 = -17 = -17 é:
mperpAB = 7
Calculando a inclinação de AB:
mAC = -1 - 77 - 1 = -86 = -43
A inclinação da bissetriz perpendicular a AB será o negativo do inverso de mperpAC = 34 :
Fazendo o mesmo para AC:
A inclinação da bissetriz perpendicular a AC será:

Passo 4

Agora, vamos escrever as equações das bissetrizes usando a forma da equação da reta:
y - y0 = m(x - x0)
Onde y - 5.5 = 7(x - 4) é o ponto médio e y = 7x - 28 + 5.5 é a inclinação que acabamos de encontrar.
Para a bissetriz de AB passando por y = 7x - 22.5 :
y - 3 = 34(x - 4)
y = 34x - 3 + 3
y = 34x
Para a bissetriz de AC passando por :

Passo 5

Agora precisamos encontrar o ponto onde essas duas bissetrizes se encontram, ou seja, resolver o sistema de equações:
y = 7x - 22.5 y = 34x
Igualando as duas expressões para 7x - 22.5 = 34x :
7x - 34x - 22.5 = 0
Subtraindo 284x - 34x - 22.5 = 0 de ambos os lados:
254x = 22.5
x = 22.5 times 425 = 9025 = 3.6
y = 34 times 3.6 = 2.7
Agora substituímos na equação :

Resposta

O ponto equidistante dos pontos A(1, 7), B(8, 6) e C(7, −1) é .

Exercícios relacionados