Determine o ponto equidistante de:
A(3,3), B(6,2), C(8,-2)

Passo 1

Vamos resolver este exercício de geometria para encontrar um ponto que está igualmente distante dos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o circuncentro, que é o ponto equidistante dos três vértices de um triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o circuncentro é o ponto onde as mediatrizes dos lados do triângulo se encontram. A mediatriz de um lado é uma linha que passa pelo ponto médio desse lado e é perpendicular a ele. Então, precisamos encontrar as mediatrizes de pelo menos dois lados do triângulo formado por , e .

Passo 3

Vamos começar calculando a mediatriz do lado . Primeiro, encontramos o ponto médio de .

Passo 4

Os pontos Ponto Médio = ( 3 + 62, 3 + 22 ) = (4.5, 2.5) e têm o ponto médio calculado por:
é

Passo 5

Agora, vamos determinar o coeficiente angular do lado m = y2 - y1x2 - x1 . O coeficiente angular ( mAB = 2 - 36 - 3 = -13 ) de uma linha que passa por dois pontos e é dado por:
Para :

Passo 6

A mediatriz de mmediatrizAB = -1mAB = -1-1/3 = 3 é perpendicular a , então o coeficiente angular da mediatriz ( ) é o negativo do inverso de :

Passo 7

Com o ponto médio y - 2.5 = 3(x - 4.5) e o coeficiente angular y = 3x - 13 , a equação da mediatriz de é:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a mediatriz do lado . Primeiro, calculamos o ponto médio de .

Passo 9

Os pontos Ponto Médio = ( 6 + 82, 2 + (-2)2 ) = (7, 0) e têm o ponto médio calculado por:
é

Passo 10

Calculamos o coeficiente angular de mBC = -2 - 28 - 6 = -42 = -2 :
mmediatrizBC = -1mBC = -1-2 = 12
A mediatriz de tem o coeficiente angular:

Passo 11

Com o ponto médio y - 0 = 12(x - 7) e o coeficiente angular y = 12x - 72 , a equação da mediatriz de é:
Simplificando:

Passo 12

Agora, temos as equações das mediatrizes de y = 3x - 13 y = 12x - 72 e :
Para encontrar o circuncentro, resolvemos este sistema de equações.

Passo 13

Igualando as duas equações:
3x - 13 = 12x - 72
Multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar a fração:
6x - 26 = x - 7
Subtraindo 5x - 26 = -7 de ambos os lados:
5x = 19
Adicionando 26 a ambos os lados:
x = 195 = 3.8
Dividindo por 5:

Passo 14

Substituímos y = 3(3.8) - 13 = 11.4 - 13 = -1.6 em uma das equações para encontrar . Usando :

Resposta

O ponto equidistante dos pontos , e é ou, em decimal, .

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