Determine o ponto equidistante de:
Passo 1
Vamos resolver este exercício de geometria para encontrar um ponto que está igualmente distante dos pontos
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o circuncentro, que é o ponto equidistante dos três vértices de um triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o circuncentro é o ponto onde as mediatrizes dos lados do triângulo se encontram. A mediatriz de um lado é uma linha que passa pelo ponto médio desse lado e é perpendicular a ele. Então, precisamos encontrar as mediatrizes de pelo menos dois lados do triângulo formado por
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a mediatriz do lado
. Primeiro, encontramos o ponto médio de
.
Passo 4
Os pontos
e
têm o ponto médio calculado por:
Passo 5
Agora, vamos determinar o coeficiente angular do lado
. O coeficiente angular (
) de uma linha que passa por dois pontos
e
é dado por:
Para
:
Passo 6
A mediatriz de
é perpendicular a
, então o coeficiente angular da mediatriz (
) é o negativo do inverso de
:
Passo 7
Com o ponto médio
e o coeficiente angular
, a equação da mediatriz de
é:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a mediatriz do lado
. Primeiro, calculamos o ponto médio de
.
Passo 9
Os pontos
e
têm o ponto médio calculado por:
Passo 10
Calculamos o coeficiente angular de
:
A mediatriz de
tem o coeficiente angular:
Passo 11
Com o ponto médio
e o coeficiente angular
, a equação da mediatriz de
é:
Simplificando:
Passo 12
Agora, temos as equações das mediatrizes de
e
:
Para encontrar o circuncentro, resolvemos este sistema de equações.
Passo 13
Igualando as duas equações:
Multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Subtraindo
de ambos os lados:
Adicionando 26 a ambos os lados:
Dividindo por 5:
Passo 14
Substituímos
em uma das equações para encontrar
. Usando
:
Resposta
O ponto equidistante dos pontos
,
e
é
ou, em decimal,
.
Exercícios relacionados
Calcular a matriz X para cada um dos casos abaixo:
Determine o ponto equidistante de:
Os pontos
e
são as extremidades de um diâmetro de uma circunferência. Determine as coordenadas do centro e o raio desta circunferência.
Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares (utilizando qualquer método):