Determine o ponto equidistante de:

Passo 1

Vamos resolver este exercício de geometria para encontrar um ponto que está igualmente distante dos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o circuncentro, que é o ponto equidistante dos três vértices de um triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o circuncentro é o ponto onde as mediatrizes dos lados do triângulo se encontram. A mediatriz de um lado é uma linha que passa pelo ponto médio desse lado e é perpendicular a ele. Então, precisamos encontrar as mediatrizes de pelo menos dois lados do triângulo formado por , e .

Passo 3

Vamos começar calculando a mediatriz do lado . Primeiro, encontramos o ponto médio de .

Passo 4

Os pontos e têm o ponto médio calculado por:
é

Passo 5

Agora, vamos determinar o coeficiente angular do lado . O coeficiente angular ( ) de uma linha que passa por dois pontos e é dado por:
Para :

Passo 6

A mediatriz de é perpendicular a , então o coeficiente angular da mediatriz ( ) é o negativo do inverso de :

Passo 7

Com o ponto médio e o coeficiente angular , a equação da mediatriz de é:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a mediatriz do lado . Primeiro, calculamos o ponto médio de .

Passo 9

Os pontos e têm o ponto médio calculado por:
é

Passo 10

Calculamos o coeficiente angular de :
A mediatriz de tem o coeficiente angular:

Passo 11

Com o ponto médio e o coeficiente angular , a equação da mediatriz de é:
Simplificando:

Passo 12

Agora, temos as equações das mediatrizes de e :
Para encontrar o circuncentro, resolvemos este sistema de equações.

Passo 13

Igualando as duas equações:
Multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Subtraindo de ambos os lados:
Adicionando 26 a ambos os lados:
Dividindo por 5:

Passo 14

Substituímos em uma das equações para encontrar . Usando :

Resposta

O ponto equidistante dos pontos , e é ou, em decimal, .

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