Os pontos A(1,-1) e B(5,-3) são as extremidades de um diâmetro de uma circunferência. Determine as coordenadas do centro e o raio desta circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria! Temos dois pontos, A(1,-1) e B(5,-3), que são as extremidades de um diâmetro de uma circunferência. Nosso objetivo é descobrir onde fica o centro dessa circunferência e qual é o seu raio.

Passo 2

Primeiro, para encontrar o centro da circunferência, precisamos calcular o ponto médio entre os pontos A e B. O ponto médio é o ponto que está exatamente no meio do segmento que liga A e B.
A fórmula para encontrar o ponto médio entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
M(x1 + x22, y1 + y22)

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
M(1 + 52, -1 + (-3)2) = M(62, -42) = M(3, -2)
Então, as coordenadas do centro da circunferência são (3, -2).

Passo 4

Agora, vamos encontrar o raio da circunferência. Como sabemos que A e B são os pontos finais de um diâmetro, primeiro precisamos calcular o comprimento do diâmetro usando a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2

Passo 5

Calculando a distância entre A(1, -1) e B(5, -3):
d = raiz(5 - 1)^2 + (-3 - (-1))^2 = raiz4^2 + (-2)^2 = raiz16 + 4 = raiz20
O diâmetro mede raiz20 unidades.

Passo 6

O raio é metade do diâmetro, então:
r = d2 = raiz202 = 2raiz52 = raiz5
Portanto, o raio da circunferência é raiz5 unidades.

Resposta

O centro da circunferência está no ponto (3, -2) e o raio é raiz5 unidades.

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