Determine o ponto do gráfico da função
cuja reta tangente é paralela à reta
[Dica: Retas definidas por equações reduzidas são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais.]

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um ponto no gráfico da função onde a reta tangente a esse ponto seja paralela à reta . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto. A reta dada tem uma inclinação (coeficiente angular) de 3. Então, queremos encontrar onde a derivada da nossa função é igual a 3.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de é . Aplicando isso:

Passo 4

Agora, igualamos a derivada a 3 para encontrar os pontos onde a inclinação da reta tangente é igual a 3:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo os valores de na função original .
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Resposta

Os pontos são e .

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Determine as retas que tangenciam a curva e passam pelo ponto :
Calcule os limites:
Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Determine uma parametrização de .
Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Determine a equação vetorial do plano tangente à no ponto .