Determine o ponto do gráfico da função
cuja reta tangente é paralela à reta
[Dica: Retas definidas por equações reduzidas são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais.]
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um ponto no gráfico da função
onde a reta tangente a esse ponto seja paralela à reta
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto. A reta dada
tem uma inclinação (coeficiente angular) de 3. Então, queremos encontrar onde a derivada da nossa função
é igual a 3.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de
é
. Aplicando isso:
Passo 4
Agora, igualamos a derivada a 3 para encontrar os pontos onde a inclinação da reta tangente é igual a 3:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo os valores de
na função original
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Resposta
Os pontos são
e
.
Exercícios relacionados
Determine as retas que tangenciam a curva
e passam pelo ponto
:
Calcule os limites:
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Determine uma parametrização de
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Determine a equação vetorial do plano tangente à
no ponto
.