Seja S a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 4 e acima do plano x y. Determine a equação vetorial do plano tangente à S no ponto (-1, 1, raiz(7)).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma parte da esfera definida por que está dentro do cilindro e acima do plano . Nosso objetivo é encontrar a equação vetorial do plano tangente a essa esfera no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Para encontrar o plano tangente à esfera em um ponto específico, primeiro precisamos determinar o vetor normal à esfera nesse ponto. A esfera é definida pela função . O vetor normal é dado pelo gradiente dessa função.

Passo 3

Calculamos o gradiente de :
No ponto , o gradiente é:
Esse é o vetor normal ao plano tangente.

Passo 4

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação vetorial do plano tangente. A equação vetorial de um plano pode ser expressa como:
Onde é o ponto de passagem, e e são vetores que estão no plano.

Passo 5

Para encontrar e , precisamos de dois vetores que sejam perpendiculares ao vetor normal . Podemos escolher vetores que satisfaçam e . Por exemplo, podemos escolher:
Verificamos que ambos são perpendiculares a .

Resposta

A equação vetorial do plano tangente à esfera no ponto é:
Onde e são parâmetros reais.

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