Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Determine a equação vetorial do plano tangente à
no ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma parte da esfera definida por
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Nosso objetivo é encontrar a equação vetorial do plano tangente a essa esfera no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre planos tangentes a superfícies.
Passo 2
Para encontrar o plano tangente à esfera em um ponto específico, primeiro precisamos determinar o vetor normal à esfera nesse ponto. A esfera é definida pela função
. O vetor normal é dado pelo gradiente dessa função.
Passo 3
Calculamos o gradiente de
:
No ponto
, o gradiente é:
Esse é o vetor normal ao plano tangente.
Passo 4
Com o vetor normal
e o ponto
, podemos escrever a equação vetorial do plano tangente. A equação vetorial de um plano pode ser expressa como:
Onde
é o ponto de passagem, e
e
são vetores que estão no plano.
Passo 5
Para encontrar
e
, precisamos de dois vetores que sejam perpendiculares ao vetor normal
. Podemos escolher vetores que satisfaçam
e
. Por exemplo, podemos escolher:
Verificamos que ambos são perpendiculares a
.
Resposta
A equação vetorial do plano tangente à esfera
no ponto
é:
Onde
e
são parâmetros reais.
Exercícios relacionados
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Determine uma parametrização de
.
Determine o ponto do gráfico da função
cuja reta tangente é paralela à reta
[Dica: Retas definidas por equações reduzidas são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais.]
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para deslocar uma partícula sobre a curva
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Calcule a integral de superfície
.