Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Determine uma parametrização de .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera definida pela equação , que tem raio 3. Dentro dessa esfera, consideramos a parte que está dentro de um cilindro , que tem raio 2, e que está acima do plano (ou seja, onde ). Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para essa parte específica da esfera.
Passo 2
Para parametrizar superfícies como esta, é útil usar coordenadas cilíndricas, onde , , e . Nessa abordagem, é a distância do ponto até o eixo , é o ângulo em torno do eixo , e é a altura.
Passo 3
Sabemos que estamos dentro do cilindro , o que em coordenadas cilíndricas é simplesmente , ou seja, . Portanto, o valor máximo de na nossa parametrização será 2.
Passo 4
A esfera está definida por . Substituindo as coordenadas cilíndricas, temos:
Resolvendo para :
Como estamos acima do plano , consideramos apenas a raiz positiva.
Passo 5
Agora, precisamos definir os limites para . Como o cilindro envolve toda a esfera em torno do eixo , varia de 0 a , cobrindo toda a volta ao redor do eixo.
Passo 6
Com tudo isso, podemos escrever a parametrização da superfície usando e como parâmetros: