Seja S a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 4 e acima do plano x y. Determine uma parametrização de S.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera definida pela equação , que tem raio 3. Dentro dessa esfera, consideramos a parte que está dentro de um cilindro , que tem raio 2, e que está acima do plano (ou seja, onde ). Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para essa parte específica da esfera.

Passo 2

Para parametrizar superfícies como esta, é útil usar coordenadas cilíndricas, onde , , e . Nessa abordagem, é a distância do ponto até o eixo , é o ângulo em torno do eixo , e é a altura.

Passo 3

Sabemos que estamos dentro do cilindro , o que em coordenadas cilíndricas é simplesmente , ou seja, . Portanto, o valor máximo de na nossa parametrização será 2.

Passo 4

A esfera está definida por . Substituindo as coordenadas cilíndricas, temos:
Resolvendo para :
Como estamos acima do plano , consideramos apenas a raiz positiva.

Passo 5

Agora, precisamos definir os limites para . Como o cilindro envolve toda a esfera em torno do eixo , varia de 0 a , cobrindo toda a volta ao redor do eixo.

Passo 6

Com tudo isso, podemos escrever a parametrização da superfície usando e como parâmetros:
onde e .

Resposta

A parametrização de é dada por:
com e .

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