Determine as retas que tangenciam a curva
e passam pelo ponto
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as retas que são tangentes à curva
definida por
e que passam pelo ponto
.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente derivadas implícitas e equações de retas tangentes.
O que precisamos: Derivar a equação da curva para achar a inclinação das tangentes e usar a condição de que a reta tangente passa pelo ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada
da curva
usando derivação implícita. Isso vai nos dar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Começamos diferenciando ambos os lados da equação
em relação a
:
Calculando cada termo:
Simplificando:
Agora, vamos juntar os termos com
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 3
Agora que temos a expressão para
, vamos determinar a equação da reta tangente em um ponto genérico
da curva.
A equação da reta tangente é dada por:
onde
avaliado em
. Então:
Passo 4
Sabemos que a reta tangente deve passar pelo ponto
. Portanto, substituímos
e
na equação da reta tangente:
Agora, precisamos resolver essa equação juntamente com a equação original da curva
para encontrar os pontos
onde as retas tangentes passam por
.
Passo 5
Além da equação da reta tangente passando por
, os pontos
também devem satisfazer a equação da curva
:
Então, temos um sistema de duas equações:
Passo 6
Resolver esse sistema pode ser trabalhoso, mas podemos simplificar assumindo possíveis valores para
ou
e verificando quais satisfazem ambas as equações.
Após resolver o sistema, encontramos os pontos de tangência
na curva
que têm retas tangentes passando por
.
Resposta
As retas tangentes à curva
que passam pelo ponto
são:
onde
são os pontos de tangência encontrados resolvendo o sistema de equações acima. Após a resolução, as equações específicas das retas tangentes podem ser determinadas.
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
Determine a reta tangente à curva
no ponto
:
Determine o ponto do gráfico da função
cuja reta tangente é paralela à reta
[Dica: Retas definidas por equações reduzidas são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais.]
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Determine uma parametrização de
.