Determine as retas que tangenciam a curva e passam pelo ponto :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as retas que são tangentes à curva definida por e que passam pelo ponto .
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente derivadas implícitas e equações de retas tangentes.
O que precisamos: Derivar a equação da curva para achar a inclinação das tangentes e usar a condição de que a reta tangente passa pelo ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da curva usando derivação implícita. Isso vai nos dar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Começamos diferenciando ambos os lados da equação em relação a :
Calculando cada termo:
Simplificando:
Agora, vamos juntar os termos com :
Finalmente, isolamos :

Passo 3

Agora que temos a expressão para , vamos determinar a equação da reta tangente em um ponto genérico da curva.
A equação da reta tangente é dada por:
onde avaliado em . Então:

Passo 4

Sabemos que a reta tangente deve passar pelo ponto . Portanto, substituímos e na equação da reta tangente:
Agora, precisamos resolver essa equação juntamente com a equação original da curva para encontrar os pontos onde as retas tangentes passam por .

Passo 5

Além da equação da reta tangente passando por , os pontos também devem satisfazer a equação da curva :
Então, temos um sistema de duas equações:

Passo 6

Resolver esse sistema pode ser trabalhoso, mas podemos simplificar assumindo possíveis valores para ou e verificando quais satisfazem ambas as equações.
Após resolver o sistema, encontramos os pontos de tangência na curva que têm retas tangentes passando por .

Resposta

As retas tangentes à curva que passam pelo ponto são:
onde são os pontos de tangência encontrados resolvendo o sistema de equações acima. Após a resolução, as equações específicas das retas tangentes podem ser determinadas.

Exercícios relacionados

Calcule os limites:
Determine a reta tangente à curva no ponto :
Determine o ponto do gráfico da função
cuja reta tangente é paralela à reta
[Dica: Retas definidas por equações reduzidas são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais.]
Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Determine uma parametrização de .