Determine:
o ponto de intersecção entre as retas r : ly=2 x-3 y=2 z-10 e s : ly=4 x-2 y=3 z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o ponto onde as retas e se cruzam. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de retas no espaço tridimensional. Para resolver, a gente vai precisar usar sistemas de equações lineares para achar as coordenadas , e desse ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as equações da reta y = 2x - 3 y = 2z - 10 :
y = 4x - 2 y = 3z
E as da reta :
Nosso objetivo é encontrar valores de , e que satisfaçam todas essas equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos começar igualando as duas expressões para 2x - 3 = 2z - 10 da reta :
Isso porque, para um ponto estar na reta , as duas equações devem ser verdadeiras ao mesmo tempo.

Passo 4

Simplificando a equação 2x - 3 = 2z - 10 2x = 2z - 7 x = z - 72 :
Agora temos uma relação entre e .

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo com as equações da reta 4x - 2 = 3z :
Essa equação também relaciona e .

Passo 6

Substituindo a expressão de 4(z - 72) - 2 = 3z 4z - 14 - 2 = 3z 4z - 16 = 3z z = 16 que encontramos no Passo 4 na equação :
Encontramos o valor de .

Passo 7

Com x = 16 - 72 = 322 - 72 = 252 = 12,5 , voltamos na expressão para encontrar :
Agora sabemos que .

Passo 8

Agora, vamos encontrar y = 4(12,5) - 2 = 50 - 2 = 48 usando uma das equações. Vamos usar da reta :

Resposta

O ponto de intersecção entre as retas e é .

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