Determine o vetor x, tal que x seja ortogonal ao eixo O y e u=x times v, sendo u=(1,1,-1) e v=(2,-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um vetor que seja ortogonal ao eixo e que satisfaça a equação , onde e . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, entender que é ortogonal ao eixo significa que é perpendicular ao vetor que representa o eixo , que é . Para dois vetores serem ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser zero.

Passo 3

Vamos chamar x cdot (0, 1, 0) = 0 Rightarrow 0 cdot x1 + 1 cdot x2 + 0 cdot x3 = 0 Rightarrow x2 = 0 . A condição de ortogonalidade ao eixo é:
Então, nosso vetor fica .

Passo 4

Agora, vamos usar a equação x times v = i & j & k x1 & 0 & x3 2 & -1 & 1 . O produto vetorial entre x times v = (0 cdot 1 - x3 cdot (-1))i - (x1 cdot 1 - x3 cdot 2)j + (x1 cdot (-1) - 0 cdot 2)k e x times v = (x3)i - (x1 - 2x3)j - (x1)k é dado por:
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Igualando isso ao vetor x3 = 1 -(x1 - 2x3) = 1 - x1 = -1 , temos:
Resolvendo as equações:
  1. (confirmando a equação anterior)

Resposta

O vetor que satisfaz as condições é .

Exercícios relacionados