Encontre a solução de cada p.v.i. abaixo:
b.
b.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a solução do sistema de equações diferenciais dado por:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes e usar essas informações para construir a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Calculando a determinante:
Então, a equação característica é:
Isso significa que temos um autovalor
com multiplicidade 2.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor
. Resolvemos
:
Simplificando, temos o sistema:
Essas equações são equivalentes, então podemos escolher
, o que nos dá
. Portanto, um autovetor é:
Passo 5
Como o autovalor
tem multiplicidade 2, precisamos encontrar um vetor generalizado. Resolvemos
:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, encontramos
e
. Então, o vetor generalizado é:
Passo 6
Com os autovalores e vetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema:
Simplificando
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, encontramos
e
.
Resposta
A solução do sistema é:
Ou seja,
Exercícios relacionados
Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
b.
b.
Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais
e
. As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam? Como ficaria a situação das partículas se a trajetória da segunda partícula,
, fosse a reta
da questảo 1 ?
Determine os pontos que dividem
em quatro partes iguais quando
e
.
Determine o ponto
, da bissetriz dos quadrantes pares, que equidista de
e
.