Encontre a solução de cada p.v.i. abaixo:
b. x^prime=(cc3 & 9 -1 & -3) x x(0)=binom24

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a solução do sistema de equações diferenciais dado por:
x^prime = 3 & 9 -1 & -3 x com x(0) = 2 4
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes e usar essas informações para construir a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz 3 & 9 -1 & -3. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando a determinante:
det(3 - lambda & 9 -1 & -3 - lambda) = (3 - lambda)(-3 - lambda) - (9)(-1) = (lambda^2) + 0lambda = lambda^2
Então, a equação característica é:
lambda^2 = 0 Rightarrow lambda = 0
Isso significa que temos um autovalor com multiplicidade 2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor 3 & 9 -1 & -3 v1 v2 = 0 0 . Resolvemos 3v1 + 9v2 = 0 -1v1 - 3v2 = 0 :
v = -3 1
Simplificando, temos o sistema:
Essas equações são equivalentes, então podemos escolher , o que nos dá . Portanto, um autovetor é:

Passo 5

Como o autovalor 3 & 9 -1 & -3 w1 w2 = -3 1 tem multiplicidade 2, precisamos encontrar um vetor generalizado. Resolvemos 3w1 + 9w2 = -3 -1w1 - 3w2 = 1 :
w = 0 -13
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, encontramos e . Então, o vetor generalizado é:

Passo 6

Com os autovalores e vetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema:
x(t) = c1 e^0t -3 1 + c2 ( e^0t 0 -13 + t e^0t -3 1 )
Simplificando x(t) = c1 -3 1 + c2 0 -13 + c2 t -3 1 :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial 2 4:
2 4 = c1 -3 1 + c2 0 -13
Isso resulta no sistema:
-3c1 = 2 c1 - 13c2 = 4
Resolvendo, encontramos e .

Resposta

A solução do sistema é:
x(t) = -23 -3 1 + 18 t -3 1 = 2 -23 + t -54 18
Ou seja,
x(t) = 2 - 54 t -23 + 18 t

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