Determine o ponto P da reta x+3 y=-15 que equidista dos pontos A=(1,3) e B=(3,0).

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria onde temos que encontrar um ponto que está na reta e que está igualmente distante dos pontos e . Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos e resolver algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e , a distância entre eles é dada por:
Como queremos que a distância de a seja igual à distância de a , podemos igualar essas duas expressões.

Passo 3

Vamos chamar as coordenadas de raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = raiz(x - 3)^2 + (y - 0)^2 de (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = (x - 3)^2 + y^2 . Então, temos:
Para facilitar, vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Agora, vamos expandir os quadrados:
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) = (x^2 - 6x + 9) + y^2
Simplificando, temos:
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 6x + 9 + y^2
Cancelando termos semelhantes:
-2x + 10 - 6y = -6x + 9

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar as variáveis:
-2x + 6x - 6y = 9 - 10
4x - 6y = -1
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
2x - 3y = -12

Passo 6

Agora, sabemos que o ponto 2x - 3y = -12 x + 3y = -15 está na reta 2x - 3y + x + 3y = -12 - 15 . Vamos resolver o sistema de equações formado por:
3x = -312
Somando as duas equações:
x = -316

Passo 7

Agora, substituímos o valor de -316 + 3y = -15 na equação 3y = -15 + 316 :
3y = -906 + 316 = -596
y = -5918

Resposta

O ponto que está na reta e equidistante dos pontos e é .

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