Determine o ponto da reta que equidista dos pontos e .

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria onde temos que encontrar um ponto que está na reta e que está igualmente distante dos pontos e . Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos e resolver algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos e , a distância entre eles é dada por:
Como queremos que a distância de a seja igual à distância de a , podemos igualar essas duas expressões.

Passo 3

Vamos chamar as coordenadas de de . Então, temos:
Para facilitar, vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Agora, vamos expandir os quadrados:
Simplificando, temos:
Cancelando termos semelhantes:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar as variáveis:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 6

Agora, sabemos que o ponto está na reta . Vamos resolver o sistema de equações formado por:
Somando as duas equações:

Passo 7

Agora, substituímos o valor de na equação :

Resposta

O ponto que está na reta e equidistante dos pontos e é .

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Determine a posição relativa das retas e abaixo. Se forem concorrentes, determine o ponto de interseção.
(f) e
Determine a posição relativa das retas e abaixo. Se forem concorrentes, determine o ponto de interseção.
(a) e
Obtenha a equação reduzida e a equação geral da reta:
(a) que passa por e tem a direção de
Para que valores de as retas e são
(b) perpendiculares?