Obtenha a equação reduzida e a equação geral da reta:
(a) que passa por A=(4,-3) e tem a direção de v=(2,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida e a equação geral da reta que passa pelo ponto A=(4,-3) e tem como direção o vetor v=(2,5). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a representação de retas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação vetorial de uma reta é dada por:
r = A + tv
Aqui, A é o vetor posição do ponto A, v é o vetor direcional da reta, e t é um parâmetro real.
Substituindo os valores que temos:
r = 4 -3 + t 2 5

Passo 3

Agora, vamos separar isso em componentes para achar as equações paramétricas:
x = 4 + 2t
y = -3 + 5t
Para encontrar a equação reduzida, precisamos eliminar o parâmetro t. Vamos isolar t em uma das equações, por exemplo, na de x:
t = x - 42
Agora, substituímos esse valor na equação de y:
y = -3 + 5(x - 42)
y = -3 + 5x - 202
y = 5x - 262
Então, a equação reduzida da reta é:
y = 52x - 13

Passo 4

Para achar a equação geral, vamos rearranjar a equação reduzida para a forma padrão Ax + By + C = 0. Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2y = 5x - 26
-5x + 2y + 26 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar o coeficiente de x positivo:
5x - 2y - 26 = 0

Resposta

A equação reduzida da reta é:
y = 52x - 13
E a equação geral da reta é:
5x - 2y - 26 = 0

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