Obtenha a equação reduzida e a equação geral da reta:
(a) que passa por e tem a direção de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a **equação reduzida** e a **equação geral** da reta que passa pelo ponto e tem como direção o vetor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a representação de retas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a **equação vetorial** de uma reta é dada por:
Aqui, é o vetor posição do ponto , é o vetor direcional da reta, e é um parâmetro real.
Substituindo os valores que temos:
Passo 3
Agora, vamos separar isso em componentes para achar as **equações paramétricas**:
Para encontrar a **equação reduzida**, precisamos eliminar o parâmetro . Vamos isolar em uma das equações, por exemplo, na de :
Agora, substituímos esse valor na equação de :
Então, a **equação reduzida** da reta é:
Passo 4
Para achar a **equação geral**, vamos rearranjar a equação reduzida para a forma padrão . Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar o coeficiente de positivo:
Resposta
A **equação reduzida** da reta é:
E a **equação geral** da reta é:
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(f) e
Para que valores de as retas e são
(b) perpendiculares?
Determine a posição relativa das retas e abaixo. Se forem concorrentes, determine o ponto de interseção.
(d) e