Determine o ponto do paraboloide mais próximo do ponto .

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício aqui que pede para encontrar o ponto do paraboloide que está mais próximo do ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente a minimização da distância entre dois pontos no espaço. Vamos precisar aplicar um pouco de cálculo para encontrar esse ponto mais próximo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. A fórmula da distância entre dois pontos e é dada por:
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer do paraboloide e o ponto .

Passo 3

Vamos substituir pela expressão do paraboloide na fórmula da distância. Assim, a distância fica:
Mas, para facilitar a minimização, a gente pode minimizar o quadrado da distância , pois a função raiz quadrada é crescente e a minimização de e vão ocorrer no mesmo ponto. Então, vamos trabalhar com:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de e que minimizam . Para isso, vamos usar cálculo, especificamente as derivadas parciais. Vamos calcular as derivadas de em relação a e e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Simplificando:
Dividindo toda a equação por 2:
çã
Agora, derivamos em relação a :
Simplificando:
Dividindo toda a equação por 2:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos tentar resolver esse sistema. Observando as duas equações, podemos notar que se assumirmos que e satisfazem alguma relação simples, talvez possamos encontrar uma solução. Porém, esse sistema não é linear e pode ser bem complicado de resolver diretamente.
Uma abordagem é tentar igualar as duas expressões. Observando que elas possuem termos semelhantes, podemos tentar relacionar os coeficientes de e .
Dividindo a Equação 1 por e a Equação 2 por (assumindo que e ):
Então, igualando as duas expressões:
Resolvendo essa proporção:

Passo 6

Agora que encontramos uma relação entre e : , vamos substituir esse valor na Equação 1 ou 2 para encontrar o valor de .
Vamos substituir na Equação 1:
Agora, temos um polinômio de terceiro grau. Para resolver isso, podemos tentar encontrar uma raiz racional usando o teorema das raízes racionais. As possíveis raízes são fatores de 3 divididos por fatores de 10, ou seja: .
Testando :
Então, é uma raiz. Agora, vamos fatorar o polinômio:
Resolvendo a equação quadrática :
Como temos uma raiz negativa dentro da raiz quadrada, as outras raízes são complexas e não são relevantes para o nosso problema. Portanto, a única solução real é .

Passo 7

Com e sabendo que , temos:
Agora, vamos encontrar o valor de usando a equação do paraboloide:

Resposta

O ponto do paraboloide mais próximo do ponto é .

Exercícios relacionados

Exercício 15.2, Questão 2.7: Calcule a integral iterada .
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
Exercício 15.2, Questão 2.2: Calcule a integral iterada .
Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta: