Determine o ponto do paraboloide
mais próximo do ponto
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício aqui que pede para encontrar o ponto do paraboloide
que está mais próximo do ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente a minimização da distância entre dois pontos no espaço. Vamos precisar aplicar um pouco de cálculo para encontrar esse ponto mais próximo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é dada por:
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer do paraboloide
e o ponto
.
Passo 3
Vamos substituir
pela expressão do paraboloide na fórmula da distância. Assim, a distância
fica:
Mas, para facilitar a minimização, a gente pode minimizar o quadrado da distância
, pois a função raiz quadrada é crescente e a minimização de
e
vão ocorrer no mesmo ponto. Então, vamos trabalhar com:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
que minimizam
. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente as derivadas parciais. Vamos calcular as derivadas de
em relação a
e
e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, vamos derivar em relação a
:
Simplificando:
Dividindo toda a equação por 2:
Agora, derivamos em relação a
:
Simplificando:
Dividindo toda a equação por 2:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos tentar resolver esse sistema. Observando as duas equações, podemos notar que se assumirmos que
e
satisfazem alguma relação simples, talvez possamos encontrar uma solução. Porém, esse sistema não é linear e pode ser bem complicado de resolver diretamente.
Uma abordagem é tentar igualar as duas expressões. Observando que elas possuem termos semelhantes, podemos tentar relacionar os coeficientes de
e
.
Dividindo a Equação 1 por
e a Equação 2 por
(assumindo que
e
):
Então, igualando as duas expressões:
Resolvendo essa proporção:
Passo 6
Agora que encontramos uma relação entre
e
:
, vamos substituir esse valor na Equação 1 ou 2 para encontrar o valor de
.
Vamos substituir na Equação 1:
Agora, temos um polinômio de terceiro grau. Para resolver isso, podemos tentar encontrar uma raiz racional usando o teorema das raízes racionais. As possíveis raízes são fatores de 3 divididos por fatores de 10, ou seja:
.
Testando
:
Então,
é uma raiz. Agora, vamos fatorar o polinômio:
Resolvendo a equação quadrática
:
Como temos uma raiz negativa dentro da raiz quadrada, as outras raízes são complexas e não são relevantes para o nosso problema. Portanto, a única solução real é
.
Passo 7
Com
e sabendo que
, temos:
Agora, vamos encontrar o valor de
usando a equação do paraboloide:
Resposta
O ponto do paraboloide
mais próximo do ponto
é
.
Exercícios relacionados
Exercício 15.2, Questão 2.7: Calcule a integral iterada
.
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
Exercício 15.2, Questão 2.2: Calcule a integral iterada
.
Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta: