Exercício 15.2, Questão 2.7: Calcule a integral iterada integral1^4 integral1^2(yx) d y d x.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral iterada . Isso envolve duas integrações: primeiro em relação a e depois em relação a . Para resolver, vamos integrar a função primeiro com respeito a de 1 a 2, e depois com respeito a de 1 a 4.

Passo 2

Primeiro, focamos na integral interna: integral1^2 yx dy = 1x integral1^2 y , dy . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . Então, podemos tirar de fora da integral:

Passo 3

Agora, resolvemos a integral integral1^2 y , dy = y^22 |1^2 = 2^22 - 1^22 = 42 - 12 = 2 - 0,5 = 1,5 . A integral de em relação a é , então:

Passo 4

Substituímos o resultado da integral interna na expressão anterior:
1x times 1,5 = 32x

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral externa: integral1^4 32x dx = 32 integral1^4 1x dx = 32 ( ln 4 - ln 1 ) . A integral de em relação a é , então:

Passo 6

Sabemos que 32 ( ln 4 - 0 ) = 32 ln 4 , então simplificamos:
32 times 2 ln 2 = 3 ln 2
E também sabemos que , então:

Resposta

O valor da integral iterada é .

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