Exercício 15.2, Questão 2.7: Calcule a integral iterada .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral iterada . Isso envolve duas integrações: primeiro em relação a e depois em relação a . Para resolver, vamos integrar a função primeiro com respeito a de 1 a 2, e depois com respeito a de 1 a 4.

Passo 2

Primeiro, focamos na integral interna: . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . Então, podemos tirar de fora da integral:

Passo 3

Agora, resolvemos a integral . A integral de em relação a é , então:

Passo 4

Substituímos o resultado da integral interna na expressão anterior:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral externa: . A integral de em relação a é , então:

Passo 6

Sabemos que , então simplificamos:
E também sabemos que , então:

Resposta

O valor da integral iterada é .

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