Determine ponto do plano que está mais perto da origem.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o ponto no plano que está mais próximo da origem. Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com o conceito de distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular essa distância e encontrar as coordenadas do ponto que minimiza essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular ao plano e pode ser obtido a partir dos coeficientes de , e na equação do plano. Para o nosso plano , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano. A distância da origem ao plano é dada por:
No nosso caso, rearranjando a equação do plano para a forma , temos .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula da distância:
Isso nos dá a distância mínima da origem ao plano, mas ainda precisamos encontrar as coordenadas do ponto correspondente.

Passo 5

Para encontrar o ponto mais próximo, usamos a fórmula da projeção do ponto sobre o plano. A coordenada do ponto é dada por:
Onde é a origem . Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

O ponto no plano que está mais perto da origem é .

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