Determine ponto do plano
que está mais perto da origem.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o ponto no plano
que está mais próximo da origem. Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com o conceito de distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular essa distância e encontrar as coordenadas do ponto que minimiza essa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular ao plano e pode ser obtido a partir dos coeficientes de
,
e
na equação do plano. Para o nosso plano
, o vetor normal
é
.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano. A distância
da origem
ao plano
é dada por:
No nosso caso, rearranjando a equação do plano para a forma
, temos
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula da distância:
Isso nos dá a distância mínima da origem ao plano, mas ainda precisamos encontrar as coordenadas do ponto correspondente.
Passo 5
Para encontrar o ponto mais próximo, usamos a fórmula da projeção do ponto sobre o plano. A coordenada do ponto
é dada por:
Onde
é a origem
. Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
O ponto no plano
que está mais perto da origem é
.
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