Encontre os valores máximos e mínimos absolutos da função f(x, y) = 5 - y^2 - x^2 em A = {(x, y) ∈ R² | x² + y² <= 9}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa achar os valores máximos e mínimos dessa função dentro do conjunto . Basicamente, estamos procurando os pontos onde a função atinge os maiores e menores valores dentro de um círculo de raio 3 (já que ) no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos buscar os pontos críticos da função dentro da região . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 3

Vamos avaliar a função nesse ponto crítico:
Esse é um candidato a valor máximo ou mínimo absoluto dentro de .

Passo 4

Agora, precisamos verificar os valores da função na fronteira do conjunto , ou seja, onde . Nessa circunferência, podemos expressar em termos de :
Substituindo na função:
Isso mostra que, em todos os pontos da fronteira, .

Resposta

Então, o valor máximo absoluto da função é 5, atingido no ponto , e o valor mínimo absoluto é -4, atingido em quaisquer pontos da fronteira .

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