Encontre os valores máximos e mínimos absolutos da função
em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa achar os valores máximos e mínimos dessa função dentro do conjunto
. Basicamente, estamos procurando os pontos onde a função atinge os maiores e menores valores dentro de um círculo de raio 3 (já que
) no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos buscar os pontos críticos da função dentro da região
. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Vamos avaliar a função nesse ponto crítico:
Esse é um candidato a valor máximo ou mínimo absoluto dentro de
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar os valores da função na fronteira do conjunto
, ou seja, onde
. Nessa circunferência, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na função:
Isso mostra que, em todos os pontos da fronteira,
.
Resposta
Então, o valor máximo absoluto da função é 5, atingido no ponto
, e o valor mínimo absoluto é -4, atingido em quaisquer pontos da fronteira
.
Exercícios relacionados
Determine ponto do plano
que está mais perto da origem.
-(UFPA)O valor da
expressão
é:
expressão
Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem
Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem