Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem (2xy + x) dx + (x^2 + y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a equação diferencial é exata e resolver se for o caso. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, e para isso, precisamos lembrar como identificar se uma equação é exata e, se for, como encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação diferencial da forma é exata se existe uma função tal que:
Ou seja, as derivadas parciais de F em relação a x e y devem coincidir com M e N, respectivamente.

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, vamos calcular as derivadas parciais de M e N e ver se elas satisfazem a condição de exatidão:
Calculando as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, comparamos as derivadas parciais:
Como , a equação diferencial é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, podemos encontrar a função cuja derivada parcial em relação a x é M e em relação a y é N. Vamos integrar M em relação a x:
Aqui, g(y) é uma função de y que surge da constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a y e igualar a N para encontrar g(y):
Igualando às duas expressões:
Integrando em relação a y:

Passo 7

Agora, temos a função completa:
Como a equação diferencial é igual a zero, a solução geral é , onde C é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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