Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a equação diferencial
é exata e resolver se for o caso. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, e para isso, precisamos lembrar como identificar se uma equação é exata e, se for, como encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se existe uma função
tal que:
Ou seja, as derivadas parciais de
em relação a
e
devem coincidir com
e
, respectivamente.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, vamos calcular as derivadas parciais de
e
e ver se elas satisfazem a condição de exatidão:
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, comparamos as derivadas parciais:
Como
, a equação diferencial é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, podemos encontrar a função
cuja derivada parcial em relação a
é
e em relação a
é
. Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Igualando às duas expressões:
Integrando
em relação a
:
Passo 7
Agora, temos a função
completa:
Como a equação diferencial é igual a zero, a solução geral é
, onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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