Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a equação diferencial é exata e resolver se for o caso. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, e para isso, precisamos lembrar como identificar se uma equação é exata e, se for, como encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação diferencial da forma é exata se existe uma função tal que:
Ou seja, as derivadas parciais de em relação a e devem coincidir com e , respectivamente.

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, vamos calcular as derivadas parciais de e e ver se elas satisfazem a condição de exatidão:
Calculando as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, comparamos as derivadas parciais:
Como , a equação diferencial é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, podemos encontrar a função cuja derivada parcial em relação a é e em relação a é . Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a para encontrar :
Igualando às duas expressões:
Integrando em relação a :

Passo 7

Agora, temos a função completa:
Como a equação diferencial é igual a zero, a solução geral é , onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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