Determine o ponto do plano
que está mais próximo do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto no plano
que está mais próximo do ponto
. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre planos e distâncias entre pontos e planos, para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o ponto mais próximo de um ponto externo a um plano é justamente a projeção desse ponto no plano. Para encontrar essa projeção, precisamos calcular a distância perpendicular do ponto ao plano.
Passo 3
A fórmula para encontrar a projeção de um ponto
em um plano
é dada por:
Passo 4
No nosso caso, o plano é
, o que podemos reescrever como
. Assim,
,
,
, e
. O ponto dado é
, então
,
, e
.
Passo 5
Vamos calcular a expressão
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Passo 7
Substituindo esses valores na fórmula de projeção, temos:
Passo 8
Simplificando cada coordenada:
Resposta
O ponto no plano
que está mais próximo de
é
.
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e
. Se
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