Determine o ponto do plano 2x - y + z = 1 que está mais próximo do ponto (-4, 1, 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto no plano que está mais próximo do ponto . Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre planos e distâncias entre pontos e planos, para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o ponto mais próximo de um ponto externo a um plano é justamente a projeção desse ponto no plano. Para encontrar essa projeção, precisamos calcular a distância perpendicular do ponto ao plano.

Passo 3

A fórmula para encontrar a projeção de um ponto em um plano é dada por:

Passo 4

No nosso caso, o plano é , o que podemos reescrever como . Assim, , , , e . O ponto dado é , então , , e .

Passo 5

Vamos calcular a expressão :

Passo 6

Agora, vamos calcular :

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula de projeção, temos:

Passo 8

Simplificando cada coordenada:

Resposta

O ponto no plano que está mais próximo de é .

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