Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os pontos críticos da função
e depois determinar se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou um ponto de sela. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando alteramos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação:
Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos o ponto crítico
.
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos mais dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Com os pontos críticos identificados, vamos usar o teste da segunda derivada para classificá-los. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas:
Passo 5
Agora, calculamos o discriminante
para cada ponto crítico usando a fórmula:
Vamos calcular
para cada ponto:
Ponto (0, 0):
Como
e
, o ponto
é um mínimo relativo.
Ponto (
, -1):
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Ponto (-
, -1):
Como
, o ponto
é também um ponto de sela.
Passo 6
Resumindo:
-
: Mínimo relativo -
: Ponto de sela -
: Ponto de sela
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
– Mínimo relativo -
– Ponto de sela -
– Ponto de sela
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Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
;
Determine o ponto do plano
que está mais próximo do ponto
.
Uma região D é limitada pelas retas:
e
. Se
é a temperatura em qualquer ponto
. Ache o ponto mais quente e o mais frio da região.