Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x^2 + y^2 + x^2 * y + 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os pontos críticos da função e depois determinar se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou um ponto de sela. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando alteramos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação:
Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos o ponto crítico .
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos mais dois pontos críticos: e .

Passo 4

Com os pontos críticos identificados, vamos usar o teste da segunda derivada para classificá-los. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas:

Passo 5

Agora, calculamos o discriminante para cada ponto crítico usando a fórmula:
Vamos calcular para cada ponto:
Ponto (0, 0):
Como e , o ponto é um mínimo relativo.
Ponto ( , -1):
Como , o ponto é um ponto de sela.
Ponto (- , -1):
Como , o ponto é também um ponto de sela.

Passo 6

Resumindo:
  • : Mínimo relativo
  • : Ponto de sela
  • : Ponto de sela

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  1. Mínimo relativo
  2. Ponto de sela
  3. Ponto de sela

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Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x*y - x - y
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x^2 + (y - 1)^2;
Determine o ponto do plano 2x - y + z = 1 que está mais próximo do ponto (-4, 1, 3).
Uma região D é limitada pelas retas: x - y = -2 ; x - y = 2 ; x + y = -2 e x + y = 2. Se T(x, y) = 2*x^2 + y^2 - y é a temperatura em qualquer ponto (x, y) em R^2. Ache o ponto mais quente e o mais frio da região.