Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os pontos críticos da função
e determinar se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Observamos que as duas equações são iguais, o que significa que temos uma infinidade de pontos críticos que satisfazem
. Podemos expressar isso como
.
Passo 5
Para determinar a natureza desses pontos críticos, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as derivadas de segunda ordem:
O discriminante
é dado por:
Quando
, o teste é inconclusivo, sugerindo que a função pode ter um comportamento de ponto de sela ao longo da linha de pontos críticos.
Resposta
Todos os pontos que satisfazem
são pontos críticos da função
. Para cada um desses pontos, o discriminante
indica que a função possui pontos de sela ao longo dessa linha de pontos críticos.
Exercícios relacionados
Uma região D é limitada pelas retas:
e
. Se
é a temperatura em qualquer ponto
. Ache o ponto mais quente e o mais frio da região.
Determine o ponto do plano
que está mais próximo do ponto
.
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.