Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = (x - y + 1)²;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os pontos críticos da função e determinar se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Observamos que as duas equações são iguais, o que significa que temos uma infinidade de pontos críticos que satisfazem . Podemos expressar isso como .

Passo 5

Para determinar a natureza desses pontos críticos, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as derivadas de segunda ordem:
O discriminante é dado por:
Quando , o teste é inconclusivo, sugerindo que a função pode ter um comportamento de ponto de sela ao longo da linha de pontos críticos.

Resposta

Todos os pontos que satisfazem são pontos críticos da função . Para cada um desses pontos, o discriminante indica que a função possui pontos de sela ao longo dessa linha de pontos críticos.

Exercícios relacionados

Uma região D é limitada pelas retas: x - y = -2 ; x - y = 2 ; x + y = -2 e x + y = 2. Se T(x, y) = 2*x^2 + y^2 - y é a temperatura em qualquer ponto (x, y) em R^2. Ache o ponto mais quente e o mais frio da região.
Determine o ponto do plano 2x - y + z = 1 que está mais próximo do ponto (-4, 1, 3).
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x^2 + 4xy - y^2 - 8x - 8y
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x