Uma região D é limitada pelas retas: x - y = -2 ; x - y = 2 ; x + y = -2 e x + y = 2. Se T(x, y) = 2*x^2 + y^2 - y é a temperatura em qualquer ponto (x, y) em R^2. Ache o ponto mais quente e o mais frio da região.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma região limitada por quatro retas:
E temos a função temperatura:
Nosso objetivo é encontrar o ponto mais quente e o mais frio dentro dessa região. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica para definir a região e cálculo para otimizar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . As equações das retas são do tipo , que representam linhas diagonais no plano cartesiano. Vamos identificar os vértices dessa região encontrando os pontos de interseção dessas retas.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar os vértices:
  1. Interseção de e :
Somando as duas equações:
Substituindo em :
Portanto, um vértice é .
  1. Interseção de e :
Somando:
Substituindo:
Vértice: .
  1. Interseção de e :
Somando:
Substituindo:
Vértice: .
  1. Interseção de e :
Somando:
Substituindo:
Vértice: .
Então, os vértices são , , e .

Passo 4

Agora que temos os vértices da região , vamos analisar a função temperatura . Para encontrar os pontos de máximo e mínimo dentro dessa região, precisamos considerar dois casos:
  1. Pontos interiores à região onde os gradientes são nulos (pontos críticos).
  2. Pontos na fronteira da região , que já identificamos como os vértices.

Passo 5

Vamos primeiro encontrar os pontos críticos internos. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero:
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 6

Vamos verificar se esse ponto está dentro da região . Substituindo e nas inequações que definem :
Então, está dentro de .

Passo 7

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nos vértices para encontrar os valores máximos e mínimos.
  1. No ponto crítico :
  1. No vértice :
  1. No vértice :
  1. No vértice :
  1. No vértice :

Passo 8

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
  • (ponto crítico)
O menor valor de é no ponto , e o maior valor é nos pontos e .

Resposta

O ponto mais frio na região é com temperatura , e os pontos mais quentes são e com temperatura .

Exercícios relacionados

Determine o ponto do plano 2x - y + z = 1 que está mais próximo do ponto (-4, 1, 3).
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x^2 + y^2 + x^2 * y + 2
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = (x - y + 1)²;
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x^2 + 4xy - y^2 - 8x - 8y