Uma região D é limitada pelas retas:
e
. Se
é a temperatura em qualquer ponto
. Ache o ponto mais quente e o mais frio da região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma região
limitada por quatro retas:
E temos a função temperatura:
Nosso objetivo é encontrar o ponto mais quente e o mais frio dentro dessa região. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica para definir a região
e cálculo para otimizar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. As equações das retas são do tipo
, que representam linhas diagonais no plano cartesiano. Vamos identificar os vértices dessa região encontrando os pontos de interseção dessas retas.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar os vértices:
- Interseção de
e :
Somando as duas equações:
Substituindo em
:
Portanto, um vértice é
.
- Interseção de
e :
Somando:
Substituindo:
Vértice:
.
- Interseção de
e :
Somando:
Substituindo:
Vértice:
.
- Interseção de
e :
Somando:
Substituindo:
Vértice:
.
Então, os vértices são
,
,
e
.
Passo 4
Agora que temos os vértices da região
, vamos analisar a função temperatura
. Para encontrar os pontos de máximo e mínimo dentro dessa região, precisamos considerar dois casos:
- Pontos interiores à região
onde os gradientes são nulos (pontos críticos). - Pontos na fronteira da região
, que já identificamos como os vértices.
Passo 5
Vamos primeiro encontrar os pontos críticos internos. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 6
Vamos verificar se esse ponto está dentro da região
. Substituindo
e
nas inequações que definem
:
Então,
está dentro de
.
Passo 7
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nos vértices para encontrar os valores máximos e mínimos.
- No ponto crítico
:
- No vértice
:
- No vértice
:
- No vértice
:
- No vértice
:
Passo 8
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
-
(ponto crítico) -
-
-
-
O menor valor de
é
no ponto
, e o maior valor é
nos pontos
e
.
Resposta
O ponto mais frio na região
é
com temperatura
, e os pontos mais quentes são
e
com temperatura
.
Exercícios relacionados
Determine o ponto do plano
que está mais próximo do ponto
.
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
;
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.