Determine o ponto do plano que está mais próximo do ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o ponto no plano que está mais próximo do ponto . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a projeção de um ponto em um plano. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a equação da linha perpendicular ao plano que passa pelo ponto dado e então descobrir onde essa linha cruza o plano.

Passo 2

Primeiro, identificamos o vetor normal ao plano. O plano tem como coeficientes de , e os valores , e , respectivamente. Então, o vetor normal é dado por:

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação paramétrica da linha que é perpendicular ao plano e passa pelo ponto . Como a linha é perpendicular ao plano, ela tem a mesma direção do vetor normal. Assim, as equações paramétricas são:
Onde é o parâmetro.

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção dessa linha com o plano, substituímos as equações paramétricas na equação do plano:
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, substituímos nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas do ponto mais próximo:

Resposta

O ponto no plano que está mais próximo de é .

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