Nos Problemas de 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada:
5)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de 1ª ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, identificamos os componentes da equação padrão
, onde aqui
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
A integral de
é
, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Pois a esquerda da equação agora é a derivada de
.
Passo 5
Integrando ambos os lados para encontrar
:
A integral do lado direito pode ser complicada, mas vamos resolver passo a passo.
Passo 6
Simplificamos
:
Então a integral fica:
Usamos a técnica de integração por partes, onde
e
. Então,
e
.
Passo 7
Aplicando integração por partes:
Então:
Passo 8
Finalmente, isolamos
:
Distribuindo
:
Podemos simplificar usando identidades trigonométricas, se desejado.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.