Nos Problemas de 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada:
5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de 1ª ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, identificamos os componentes da equação padrão , onde aqui e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante. O fator integrante é dado por:
A integral de é , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:
Pois a esquerda da equação agora é a derivada de .

Passo 5

Integrando ambos os lados para encontrar :
A integral do lado direito pode ser complicada, mas vamos resolver passo a passo.

Passo 6

Simplificamos :
Então a integral fica:
Usamos a técnica de integração por partes, onde e . Então, e .

Passo 7

Aplicando integração por partes:
Então:

Passo 8

Finalmente, isolamos :
Distribuindo :
Podemos simplificar usando identidades trigonométricas, se desejado.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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Nos Problemas de 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada:
8)
Calcule os limites abaixo.
§
Determine o ponto do plano que está mais próximo do ponto .
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
(n)