Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de
sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função
com a restrição
. Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que ajudam a otimizar uma função sujeita a uma condição específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. É uma técnica que nos permite encontrar os extremos (máximos e mínimos) de uma função
quando temos uma restrição
. A ideia é que os gradientes dessas funções devem ser proporcionais no ponto extremo, ou seja:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes das nossas funções. Para
:
E para a restrição
:
Passo 4
Segundo a condição dos multiplicadores de Lagrange, temos que:
E a restrição:
Passo 5
Vamos tentar achar relações entre
e
. Dividindo a primeira equação por
, a segunda por
e a terceira por
(assumindo que nenhum deles é zero), temos:
Isso implica que:
Passo 6
Igualando as primeiras duas frações:
Se
, podemos dividir por
:
Similarmente, ao comparar as outras frações, chegamos a:
Passo 7
Então, todos os três são iguais em módulo. Vamos considerar
. Substituindo na restrição:
Então,
e
.
Passo 8
Agora, vamos calcular o valor de
nesses pontos:
E para os outros sinais, o valor será
.
Passo 9
Então, os valores extremos de
são
(máximo) e
(mínimo).
Resposta
O valor máximo de
é
e o valor mínimo é
. Esses valores ocorrem nos pontos
.