Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de f sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
f(x, y, z) = x * y * z ; x^2 + y^2 + z^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função com a restrição . Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que ajudam a otimizar uma função sujeita a uma condição específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. É uma técnica que nos permite encontrar os extremos (máximos e mínimos) de uma função quando temos uma restrição . A ideia é que os gradientes dessas funções devem ser proporcionais no ponto extremo, ou seja:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Vamos calcular os gradientes das nossas funções. Para :
E para a restrição :

Passo 4

Segundo a condição dos multiplicadores de Lagrange, temos que:
E a restrição:

Passo 5

Vamos tentar achar relações entre e . Dividindo a primeira equação por , a segunda por e a terceira por (assumindo que nenhum deles é zero), temos:
Isso implica que:

Passo 6

Igualando as primeiras duas frações:
Se , podemos dividir por :
Similarmente, ao comparar as outras frações, chegamos a:

Passo 7

Então, todos os três são iguais em módulo. Vamos considerar . Substituindo na restrição:
Então, e .

Passo 8

Agora, vamos calcular o valor de nesses pontos:
E para os outros sinais, o valor será .

Passo 9

Então, os valores extremos de são (máximo) e (mínimo).

Resposta

O valor máximo de é e o valor mínimo é . Esses valores ocorrem nos pontos .

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