Determine o ponto simétrico de (alpha, beta) com relação às retas: y=2 x+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o ponto simétrico de em relação à reta . Isso está ligado ao conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre simetria de pontos em relação a retas. Para resolver, vamos precisar entender como refletir um ponto sobre uma reta usando fórmulas matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta dada é . A inclinação dessa reta é 2, e o termo constante é 1. Para achar o ponto simétrico, precisamos encontrar a imagem do ponto refletido sobre essa reta.

Passo 3

O próximo passo é encontrar a equação da reta perpendicular à que passa pelo ponto . Sabemos que se a inclinação da primeira reta é , a inclinação da perpendicular será (pois ).

Passo 4

Agora, vamos escrever a equação da reta perpendicular usando a fórmula da reta: y - beta = -12(x - alpha) , onde y = -12x + alpha2 + beta é o ponto . Substituindo, temos:
Simplificando:

Passo 5

Precisamos encontrar o ponto de interseção entre as duas retas: 2x + 1 = -12x + alpha2 + beta e 2x + 12x = alpha2 + beta - 1 . Igualando as duas expressões para 52x = alpha2 + beta - 1 :
5x = alpha + 2beta - 2
Vamos resolver para x = alpha + 2beta - 25 :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 6

Agora que temos o valor de y = 2(alpha + 2beta - 25) + 1 , podemos encontrar y = 2alpha + 4beta - 45 + 1 substituindo na equação y = 2alpha + 4beta - 4 + 55 :
y = 2alpha + 4beta + 15

Passo 7

O ponto de interseção das duas retas é . Esse ponto é o ponto médio entre e seu ponto simétrico .

Passo 8

Para encontrar o ponto simétrico alpha + x'2 = alpha + 2beta - 25 , usamos a fórmula do ponto médio:
beta + y'2 = 2alpha + 4beta + 15
alpha + x' = 2(alpha + 2beta - 2)5
Resolvendo para x' = 2(alpha + 2beta - 2)5 - alpha e x' = 2alpha + 4beta - 4 - 5alpha5 :
x' = -3alpha + 4beta - 45
beta + y' = 2(2alpha + 4beta + 1)5
y' = 4alpha + 8beta + 25 - beta
y' = 4alpha + 8beta + 2 - 5beta5
E para y' = 4alpha + 3beta + 25 :

Resposta

O ponto simétrico de em relação à reta é .

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