Encontre a derivada da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso está dentro do conteúdo de derivadas, mais especificamente lidando com funções compostas e derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e lembrar das derivadas da função e das funções de raiz e fração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que compõem o que chamamos de função composta. Aqui, temos três camadas:
  1. A função externa é , onde é outra função.
  2. Dentro do , temos a função raiz: , onde .
  3. A função dentro da raiz é uma fração que depende de .

Passo 3

Vamos começar a derivar usando a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que, para derivar uma função composta, a gente multiplica a derivada da função externa pela derivada da função interna.
Então, a derivada de em relação a é:
Aqui, .

Passo 4

Agora, vamos derivar , onde . A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, juntando tudo usando a regra da cadeia:
Lembrando que , então:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada de :
Vamos simplificar :

Passo 7

Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 8

Para simplificar ainda mais, vamos racionalizar o denominador:
Então:
E como :

Resposta

A derivada da função é .

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.
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C.