Encontre a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Isso está dentro do conteúdo de derivadas, mais especificamente lidando com funções compostas e derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e lembrar das derivadas da função
e das funções de raiz e fração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que compõem o que chamamos de função composta. Aqui, temos três camadas:
- A função externa é
, onde é outra função. - Dentro do
, temos a função raiz: , onde . - A função dentro da raiz é uma fração que depende de
.
Passo 3
Vamos começar a derivar usando a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que, para derivar uma função composta, a gente multiplica a derivada da função externa pela derivada da função interna.
Então, a derivada de
em relação a
é:
Aqui,
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
, onde
. A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, juntando tudo usando a regra da cadeia:
Lembrando que
, então:
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na expressão da derivada de
:
Vamos simplificar
:
Passo 7
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 8
Para simplificar ainda mais, vamos racionalizar o denominador:
Então:
E como
:
Resposta
A derivada da função é
.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada da função.
.
Determine um ponto da superfície
no qual o plano tangente é paralelo ao plano
.
Seja
. Determine um vetor unitário u para o qual
.
Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
C.
C.