Verifique, em cada caso, se A, B, C e D são coplanares:
A=(1,1,0), B=(0,2,3), C=(2,0,-1) e D=(-1,3,5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se os pontos e estão coplanares, ou seja, se eles todos estão no mesmo plano. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra vetorial, especialmente o conceito de produto misto.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um ponto de referência, digamos o ponto . A partir desse ponto, vamos formar três vetores que ligam aos outros pontos: , e .

Passo 3

Vamos calcular esses vetores:
AB = B - A = (0-1, 2-1, 3-0) = (-1, 1, 3)
AC = C - A = (2-1, 0-1, -1-0) = (1, -1, -1)
AD = D - A = (-1-1, 3-1, 5-0) = (-2, 2, 5)

Passo 4

Agora, para verificar se os pontos são coplanares, calculamos o produto misto desses três vetores. Se o resultado for zero, significa que os vetores são coplanares, e portanto, os pontos também.
O produto misto é dado por:
AB cdot (AC times AD)
Primeiro, calculamos o produto vetorial AC times AD = i & j & k 1 & -1 & -1 -2 & 2 & 5 = i((-1)(5) - (-1)(2)) - j((1)(5) - (-1)(-2)) + k((1)(2) - (-1)(-2)) :
= i(-5 + 2) - j(5 - 2) + k(2 - 2)
= i(-3) - j(3) + k(0)
= (-3, -3, 0)
AB cdot (-3, -3, 0) = (-1)(-3) + (1)(-3) + (3)(0) = 3 - 3 + 0 = 0
Agora, fazemos o produto escalar com :

Resposta

Como o produto misto resultou em zero, os pontos e são coplanares.

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