Dê uma equação da reta r que passa pelo ponto P0=(0,-1,0) e é paralela à reta s:l2 x-y+z=2 x+3 y-z=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar uma equação da reta 2x - y + z = 2 x + 3y - z = -1 que passa pelo ponto e que seja paralela à reta definida pelo sistema de equações:
Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço. Para isso, vamos precisar encontrar a direção da reta para depois usar essa direção na equação da reta .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a direção da reta 2x - y + z = 2 (1) x + 3y - z = -1 (2) . A direção de uma reta no espaço é dada por um vetor diretor. Para encontrar esse vetor, vamos resolver o sistema de equações que define a reta (2x - y + z) + (x + 3y - z) = 2 + (-1) 3x + 2y = 1 (3) .
Vamos resolver o sistema:
3x = 1 - 2y x = 1 - 2y3
Somando as duas equações para eliminar z = 2 - 2x + y z = 2 - 2(1 - 2t3) + t z = 2 - 2 - 4t3 + t z = 2 - 23 + 4t3 + t z = 63 - 23 + 7t3 z = 4 + 7t3 :
x = 1 - 2t3, y = t, z = 4 + 7t3
Agora, expressamos em função de :
Escolhemos (um parâmetro livre) e substituímos para encontrar :
Então, podemos escrever os parâmetros da reta :
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de nas equações paramétricas, ou seja, .

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor da reta x = 0 - 23t y = -1 + t z = 0 + 73t , podemos usar esse mesmo vetor para a reta r(t) = (0, -1, 0) + t ( -23, 1, 73 ) , já que elas são paralelas. A equação de uma reta no espaço pode ser escrita usando um ponto pelo qual ela passa e seu vetor diretor.
Usando o ponto e o vetor diretor , a equação paramétrica da reta é:
Podemos também escrever a equação vetorial da reta :

Resposta

A equação paramétrica da reta x = -23t y = -1 + t z = 73t ��:
r(t) = (0, -1, 0) + t ( -23, 1, 73 )
ou, na forma vetorial:

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