Determine a posição relativa e a interseção da reta r com o plano pi nos seguintes casos:
r: P=(3,2,1)+lambda(-1,1,1), lambda in R e pi: x+z=3;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma reta e um plano . Queremos descobrir como essa reta se relaciona com o plano: ela pode estar paralela, pode intersectar o plano em um único ponto ou pode estar contida no próprio plano.
Matéria envolvida: Geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente a interação entre retas e planos.
O que vamos precisar:
  • Equação paramétrica da reta.
  • Equação geral do plano.
  • Cálculo de ponto de interseção.
  • Verificação de paralelismo ou se a reta está contida no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações da reta P = (3,2,1) + lambda(-1,1,1), lambda in R e do plano P(x,y,z) = (3 - lambda,, 2 + lambda,, 1 + lambda) :
A reta x + z = 3 está definida pela equação paramétrica:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser escrito como:
O plano tem a equação:

Passo 3

Para descobrir se a reta intersecta o plano, substituímos as coordenadas do ponto (3 - lambda) + (1 + lambda) = 3 da reta na equação do plano.
Substituindo 4 = 3 e na equação do plano:
Simplificando:

Passo 4

Observamos que a equação resultante é uma contradição, ou seja, não há valor de que satisfaça essa igualdade. Isso significa que não existe nenhum ponto na reta que pertença ao plano.

Passo 5

Como não há interseção entre a reta e o plano, devemos verificar se a reta é paralela ao plano.
Para isso, comparamos o vetor diretor da reta com o vetor normal do plano.
O vetor diretor da reta d cdot n = (-1)(1) + (1)(0) + (1)(1) = -1 + 0 + 1 = 0 é .
O vetor normal do plano é .
Calculamos o produto escalar entre e :
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares, o que implica que a reta é paralela ao plano.

Resposta

A reta é paralela ao plano e não possuem nenhum ponto em comum; portanto, não há interseção entre eles.

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