Determine a posição relativa e a interseção da reta
com o plano
nos seguintes casos:
e
;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma reta
e um plano
. Queremos descobrir como essa reta se relaciona com o plano: ela pode estar paralela, pode intersectar o plano em um único ponto ou pode estar contida no próprio plano.
Matéria envolvida: Geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente a interação entre retas e planos.
O que vamos precisar:
- Equação paramétrica da reta.
- Equação geral do plano.
- Cálculo de ponto de interseção.
- Verificação de paralelismo ou se a reta está contida no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações da reta
e do plano
:
A reta
está definida pela equação paramétrica:
Isso significa que qualquer ponto
na reta pode ser escrito como:
O plano
tem a equação:
Passo 3
Para descobrir se a reta intersecta o plano, substituímos as coordenadas do ponto
da reta na equação do plano.
Substituindo
e
na equação do plano:
Simplificando:
Passo 4
Observamos que a equação resultante
é uma contradição, ou seja, não há valor de
que satisfaça essa igualdade. Isso significa que não existe nenhum ponto na reta que pertença ao plano.
Passo 5
Como não há interseção entre a reta e o plano, devemos verificar se a reta é paralela ao plano.
Para isso, comparamos o vetor diretor da reta com o vetor normal do plano.
O vetor diretor da reta
é
.
O vetor normal do plano
é
.
Calculamos o produto escalar entre
e
:
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares, o que implica que a reta é paralela ao plano.
Resposta
A reta
é paralela ao plano
e não possuem nenhum ponto em comum; portanto, não há interseção entre eles.