Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um conjunto que é formado por matrizes com certas condições. Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e espaços de matrizes. Vamos analisar se é um subespaço de e, se for, descobrir qual é a sua dimensão e uma base para ele.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é W = [ ccc a & b & c d & e & f g & h & i ] in M3 times 3 g| a + b + c + d + e = g + h + i . Ele é definido como o conjunto de todas as matrizes onde a soma dos elementos da primeira e segunda linhas é igual à soma dos elementos da terceira linha. Em termos matemáticos:
Passo 3
Agora, para verificar se é um subespaço vetorial de , precisamos conferir três propriedades:
O vetor zero está em .
Fechamento sob adição.
Fechamento sob multiplicação por escalar.
Vamos checar cada uma delas.
Passo 4
1. O vetor zero está em [ ccc 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ] :
O vetor zero em 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 + 0 + 0 Rightarrow 0 = 0 é a matriz onde todos os elementos são zero:
Vamos verificar se ele pertence a :
Então, o vetor zero está em .
Passo 5
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer A = [ ccc a & b & c d & e & f g & h & i ], B = [ ccc a' & b' & c' d' & e' & f' g' & h' & i' ] e a + b + c + d + e = g + h + i e a' + b' + c' + d' + e' = g' + h' + i' em A + B = [ ccc a + a' & b + b' & c + c' d + d' & e + e' & f + f' g + g' & h + h' & i + i' ] e ver se (a + a') + (b + b') + (c + c') + (d + d') + (e + e') = (g + g') + (h + h') + (i + i') também está em (a + b + c + d + e) + (a' + b' + c' + d' + e') = g + h + i + g' + h' + i' .
Seja:
a + b + c + d + e = g + h + i e a' + b' + c' + d' + e' = g' + h' + i'
Como (g + h + i) + (g' + h' + i') = g + h + i + g' + h' + i' e estão em , temos:
Agora, somamos :
Vamos verificar a condição para :
Simplificando:
Sabemos que:
Então:
Ou seja, a igualdade se mantém. Portanto, também está em .
Passo 6
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz ccc a & b & c d & e & f g & h & i em a + b + c + d + e = g + h + i e um escalar kA = [ ccc ka & kb & kc kd & ke & kf kg & kh & ki ] . Precisamos verificar se ka + kb + kc + kd + ke = kg + kh + ki também está em k(a + b + c + d + e) = k(g + h + i) .
Seja k(g + h + i) = k(g + h + i) em , então:
Multiplicando por :
Vamos verificar a condição para :
Fatorando :
Como , temos:
A igualdade se mantém, então também está em .
Passo 7
Como satisfaz todas as três propriedades (vetor zero, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar), podemos concluir que é de fato um subespaço vetorial de .
Passo 8
Agora, vamos determinar a dimensão de a + b + c + d + e = g + h + i e encontrar uma base para ele. Para isso, vamos contar quantos parâmetros livres existem nas matrizes de i = a + b + c + d + e - g - h .
A condição dada é:
9 e<=mentos - 1 condição = 8 parâmetros livres
Isso significa que uma das variáveis pode ser expressa em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para :
Então, temos que não é livre; ela depende dos outros elementos. Como uma matriz tem 9 elementos, e uma condição relaciona esses elementos, temos:
Cada uma dessas matrizes representa uma direção independente no espaço , e qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear dessas bases.
Resposta
é um subespaço vetorial de com dimensão 8, e uma base para é composta pelas 8 matrizes conforme descritas acima.