Determine se os pontos abaixo formam triângulos ou se estão alinhados no plano. No primeiro caso determine a área dos triângulos formados. (3,2),(4,3),(1,-1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se os três pontos dados: (3,2), (4,3) e (1,-1) estão alinhados em uma linha reta ou se eles formam um triângulo no plano. Se formarem um triângulo, vamos calcular a área dele. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como inclinações e fórmulas de área.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os pontos estão alinhados. Para isso, vamos calcular a inclinação entre cada par de pontos. A inclinação entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada por:
m = y2 - y1x2 - x1
Se as inclinações entre um par de pontos forem iguais, os pontos estão na mesma linha reta.
Vamos calcular:
  • Inclinação entre (3,2) e (4,3):
m1 = 3 - 24 - 3 = 11 = 1
  • Inclinação entre (4,3) e (1,-1):
m2 = -1 - 31 - 4 = -4-3 = 43
Como m1 = 1 e m2 = 43 são diferentes, os pontos não estão alinhados.

Passo 3

Já que os pontos não estão na mesma linha reta, eles formam um triângulo. Agora, vamos calcular a área desse triângulo. Uma forma prática de fazer isso é usando a fórmula da área para três pontos no plano:
Área = 12 | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) | Á
Vamos atribuir os pontos:
  • A (3, 2) (x1, y1)
  • B (4, 3) (x2, y2)
  • C (1, -1) (x3, y3)
Agora, substituindo na fórmula:
Área = 12 | 3(3 - (-1)) + 4(-1 - 2) + 1(2 - 3) | Á
Vamos calcular passo a passo:
  1. 3(3 - (-1)) = 3 times 4 = 12
  2. 4(-1 - 2) = 4 times (-3) = -12
  3. 1(2 - 3) = 1 times (-1) = -1
Somando tudo:
12 + (-12) + (-1) = -1
Então,
Área = 12 times |-1| = 12 times 1 = 0,5 Á

Resposta

Os pontos (3,2), (4,3) e (1,-1) formam um triângulo com área igual a 0,5 unidades quadradas.

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