Seja uma base de . Mostre que , onde , e é uma base de e encontre as coordenadas do vetor , em relação às bases e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto forma uma base no espaço tridimensional . Além disso, temos que encontrar as coordenadas de um vetor específico nas bases e . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre bases, independência linear e mudança de base. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que realmente é uma base de . Para isso, precisamos garantir que os vetores sejam linearmente independentes e que eles gerem todo o espaço .
Uma forma prática de verificar a independência linear é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Vamos montar a matriz com os vetores de :
Agora, vamos calcular o determinante de :
Como , os vetores são linearmente independentes e, portanto, é uma base de .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor em relação à base .
Mas, olha só, a base é a base padrão, o que significa que as coordenadas de qualquer vetor nessa base são simplesmente os coeficientes que multiplicam cada vetor da base.
Então, para :
Portanto, as coordenadas de em relação a são:
Passo 4
Agora, a parte mais interessante: encontrar as coordenadas de em relação à base .
Sabemos que:
Substituindo os vetores de :
Vamos expandir a equação:
Agora, igualamos os coeficientes de cada vetor base: