Seja E=e1, e2, e3 uma base de V^3. Mostre que F=f1, f2, f3, onde f1=e1+e2+e3, f2=e1+e2 e f3=e1 é uma base de V^3 e encontre as coordenadas do vetor r=-3 e1-e3, em relação às bases E e F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto forma uma base no espaço tridimensional . Além disso, temos que encontrar as coordenadas de um vetor específico nas bases e . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre bases, independência linear e mudança de base. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que A = f1 & f2 & f3 = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 realmente é uma base de det(A) = 1 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 0) - 1 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) = 0 - 0 - 1 = -1 . Para isso, precisamos garantir que os vetores sejam linearmente independentes e que eles gerem todo o espaço .
Uma forma prática de verificar a independência linear é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Vamos montar a matriz com os vetores de :
Agora, vamos calcular o determinante de :
Como , os vetores são linearmente independentes e, portanto, é uma base de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor r = -3e1 + 0e2 -1e3 em relação à base [r]E = -3 0 -1 .
Mas, olha só, a base é a base padrão, o que significa que as coordenadas de qualquer vetor nessa base são simplesmente os coeficientes que multiplicam cada vetor da base.
Então, para :
Portanto, as coordenadas de em relação a são:

Passo 4

Agora, a parte mais interessante: encontrar as coordenadas de r = c1f1 + c2f2 + c3f3 em relação à base -3e1 - e3 = c1(e1 + e2 + e3) + c2(e1 + e2) + c3e1 .
Sabemos que:
-3e1 - e3 = (c1 + c2 + c3)e1 + (c1 + c2)e2 + c1e3
Substituindo os vetores de c1 + c2 + c3 = -3 (1) c1 + c2 = 0 (2) c1 = -1 (3) :
c1 = -1
Vamos expandir a equação:
-1 + c2 = 0 Rightarrow c2 = 1
Agora, igualamos os coeficientes de cada vetor base:
-1 + 1 + c3 = -3 Rightarrow c3 = -3
Vamos resolver esse sistema:
Da equação (3):
[r]F = -1 1 -3
Substituindo na equação (2):
Agora, substituindo e na equação (1):
Portanto, as coordenadas de em relação a são:

Resposta

As coordenadas do vetor [r]E = -3 0 -1 , [r]F = -1 1 -3 são:

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