Determine se é verdadeiro ou falso que:
(a) A soma de duas matrizes da mesma ordem, da forma el é da forma el.
(b) O produto por escalar de uma matriz da forma el e um escalar não nulo é uma matriz da forma el.
© Seja
uma matriz de ordem
. A matriz resultante de substituir em
exatamente a linha
por
é linha equivalente a
.
(a) A soma de duas matrizes da mesma ordem, da forma el é da forma el.
(b) O produto por escalar de uma matriz da forma el e um escalar não nulo é uma matriz da forma el.
© Seja
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre matrizes que precisam ser avaliadas como verdadeiras ou falsas. O conteúdo envolvido aqui é a álgebra linear, especificamente operações com matrizes e suas propriedades. Para resolver, precisamos lembrar como somar matrizes, multiplicar matrizes por escalares e como essas operações afetam a forma escalonada por linhas (forma EL) das matrizes.
Passo 2
(a) A soma de duas matrizes da mesma ordem, da forma EL, é da forma EL.
Primeiro, vamos lembrar que a forma escalonada por linhas (EL) é uma matriz onde, em cada linha não nula, o primeiro número não nulo está à direita do primeiro número não nulo da linha acima. Agora, se somarmos duas matrizes que estão na forma EL, cada elemento da soma será a soma dos elementos correspondentes das duas matrizes.
No entanto, a soma de duas matrizes na forma EL pode não manter a forma EL. Por exemplo, se duas matrizes EL tiverem pivôs (os primeiros números não nulos) nas mesmas posições, a soma desses pivôs pode resultar em zero ou deslocar os pivôs para novas posições, quebrando a estrutura da forma EL.
Conclusão: Falso.
Passo 3
(b) O produto por escalar de uma matriz da forma EL e um escalar não nulo é uma matriz da forma EL.
Multiplicar uma matriz por um escalar não nulo significa que cada elemento da matriz será multiplicado por esse escalar. A forma EL depende da posição dos pivôs, não dos valores numéricos desses pivôs (desde que não sejam zero).
Como o escalar não é zero, os pivôs não desaparecem e mantêm suas posições relativas. Portanto, a matriz resultante ainda terá a forma EL.
Conclusão: Verdadeiro.
Passo 4
© Seja
uma matriz de ordem
. A matriz resultante de substituir em
exatamente a linha
por
é linha equivalente a
.
Duas matrizes são linha equivalente se uma pode ser obtida da outra através de operações elementares de linha (como troca de linhas, multiplicação por um escalar não nulo, ou adição de múltiplos de uma linha a outra linha).
Substituir a linha
por
é uma operação de linha, pois estamos adicionando as outras linhas para formar a nova linha. Isso não altera a equivalência da matriz em termos de solução do sistema associado.
Conclusão: Verdadeiro.
Resposta
(a) Falso.
(b) Verdadeiro.
© Verdadeiro.
Exercícios relacionados
Seja o vetor
. Obter
a) um vetor ortogonal a ;
b) um vetor unitário ortogonal a ;
c) um vetor de módulo 4 ortogonal a v.
a) um vetor ortogonal a
b) um vetor unitário ortogonal a
c) um vetor de módulo 4 ortogonal a v.
Seja
. Dos conjuntos descritos abaixo, apenas um deles é uma base para
. Qual deles?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Determine se os pontos abaixo formam triângulos ou se estão alinhados no plano. No primeiro caso determine a área dos triângulos formados.
;
Determine se os pontos abaixo formam triângulos ou se estão alinhados no plano. No primeiro caso determine a área dos triângulos formados.
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