Determine conhecendo os valores de na base de .
(b) , tal que e .
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos determinar uma transformação linear . Sabemos como age em dois vetores específicos da base de : e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes, que nos ajudam a representar e calcular de forma clara.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso de , a matriz será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de:
Aqui, são os elementos que precisamos descobrir.
Passo 3
Sabemos que a transformação age sobre os vetores da seguinte forma:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos multiplicar a matriz pelos vetores dados para criar um sistema de equações.
Para :
Que resulta em:
Para :
Que resulta em:
Passo 5
Agora, temos as seguintes equações:
Como já sabemos que 2a + 1 = 1 Rightarrow 2a = 0 Rightarrow a = 0 e 2c - 1 = 0 Rightarrow 2c = 1 Rightarrow c = 12 , podemos substituir esses valores nas primeiras duas equações:
Passo 6
Agora que encontramos todos os valores, nossa matriz A = 0 & 1 12 & -1 fica:
Resposta
A transformação linear T = 0 & 1 12 & -1 é representada pela matriz: