Determine T: V longrightarrow W conhecendo os valores de T na base de V.
(b) T: R^2 longrightarrow R^2, tal que T(2,1)=(1,0) e T(0,1)= (1,-1).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos determinar uma transformação linear . Sabemos como age em dois vetores específicos da base de : e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes, que nos ajudam a representar e calcular de forma clara.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso de A = a & b c & d , a matriz será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de:
Aqui, são os elementos que precisamos descobrir.

Passo 3

Sabemos que a transformação T(2,1) = (1,0) e T(0,1) = (1,-1) age sobre os vetores da seguinte forma:
A cdot 2 1 = 1 0 e A cdot 0 1 = 1 -1
Isso significa que:

Passo 4

Vamos multiplicar a matriz a & b c & d cdot 2 1 = 1 0 pelos vetores dados para criar um sistema de equações.
Para 2a + b = 1 e 2c + d = 0 :
a & b c & d cdot 0 1 = 1 -1
Que resulta em:
b = 1 e d = -1
Para :
Que resulta em:

Passo 5

Agora, temos as seguintes equações:
2a + b = 1 2c + d = 0 b = 1 d = -1
Como já sabemos que 2a + 1 = 1 Rightarrow 2a = 0 Rightarrow a = 0 e 2c - 1 = 0 Rightarrow 2c = 1 Rightarrow c = 12 , podemos substituir esses valores nas primeiras duas equações:

Passo 6

Agora que encontramos todos os valores, nossa matriz A = 0 & 1 12 & -1 fica:

Resposta

A transformação linear T = 0 & 1 12 & -1 é representada pela matriz:

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