Determine os pontos de acumulação do conjunto dado.
b)
b)
Passo 1
Então, temos que determinar os pontos de acumulação do conjunto
. Isso está relacionado com análise matemática, mais especificamente com topologia e teoria de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos de acumulação e como identificá-los nesse conjunto de pontos que têm coordenadas inteiras no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ponto de acumulação. Um ponto
é um ponto de acumulação de um conjunto
se, em qualquer vizinhança de
, ou seja, em qualquer região ao redor de
, existe pelo menos um ponto de
diferente de
. Basicamente, significa que pontos de
“se aproximam” de
infinitamente.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto
. Esse conjunto contém todos os pontos no plano onde as coordenadas
e
são números inteiros. Visualizando, esses pontos formam uma grade regular, onde cada ponto está a 1 unidade de distância dos seus vizinhos na horizontal e na vertical.
Passo 4
Para encontrar os pontos de acumulação, precisamos verificar se há algum ponto no plano onde, não importa o quão pequena seja a vizinhança escolhida, haverá sempre pontos do conjunto dentro dela. Vamos considerar uma vizinhança aberta ao redor de um ponto qualquer
no plano, com raio
.
Passo 5
Observamos que, no conjunto dado, os pontos estão espaçados por pelo menos 1 unidade de distância. Isso significa que se escolhermos um
menor que
, cada vizinhança aberta de raio
ao redor de qualquer ponto
conterá no máximo um ponto do conjunto
. Portanto, não há pontos onde os pontos do conjunto se “acumulam” infinitamente próximos.
Passo 6
Como não existe nenhum ponto no plano onde os pontos do conjunto se aproximam infinitamente, concluímos que não há pontos de acumulação para o conjunto
.
Resposta
O conjunto
não possui pontos de acumulação.
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