Determine os pontos de acumulação do conjunto dado.
b) {x, y | x, y pertencem a Z}

Passo 1

Então, temos que determinar os pontos de acumulação do conjunto {x, y | x, y pertencem a Z}. Isso está relacionado com análise matemática, mais especificamente com topologia e teoria de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos de acumulação e como identificá-los nesse conjunto de pontos que têm coordenadas inteiras no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ponto de acumulação. Um ponto p é um ponto de acumulação de um conjunto S se, em qualquer vizinhança de p, ou seja, em qualquer região ao redor de p, existe pelo menos um ponto de S diferente de p. Basicamente, significa que pontos de S “se aproximam” de p infinitamente.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto {x, y | x, y pertencem a Z}. Esse conjunto contém todos os pontos no plano onde as coordenadas x e y são números inteiros. Visualizando, esses pontos formam uma grade regular, onde cada ponto está a 1 unidade de distância dos seus vizinhos na horizontal e na vertical.

Passo 4

Para encontrar os pontos de acumulação, precisamos verificar se há algum ponto no plano onde, não importa o quão pequena seja a vizinhança escolhida, haverá sempre pontos do conjunto dentro dela. Vamos considerar uma vizinhança aberta ao redor de um ponto qualquer no plano, com raio .

Passo 5

Observamos que, no conjunto dado, os pontos estão espaçados por pelo menos 1 unidade de distância. Isso significa que se escolhermos um epsilon menor que 1/2, cada vizinhança aberta de raio epsilon ao redor de qualquer ponto p conterá no máximo um ponto do conjunto {x, y | x, y pertencem a Z}. Portanto, não há pontos onde os pontos do conjunto se “acumulam” infinitamente próximos.

Passo 6

Como não existe nenhum ponto no plano onde os pontos do conjunto se aproximam infinitamente, concluímos que não há pontos de acumulação para o conjunto {x, y | x, y pertencem a Z}.

Resposta

O conjunto {x, y | x, y pertencem a Z} não possui pontos de acumulação.

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