A temperatura (em graus Celsius) em um ponto (x, y) em uma placa de metal no plano x y é
T(x, y) = x y / (1 + x^2 + y^2)
Determine a taxa de variação da temperatura em 1,1 na direção de v = 2i - j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a taxa de variação da temperatura no ponto 1,1 na direção do vetor . Vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos mostra como uma função muda em uma direção específica a partir de um ponto dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a derivada direcional de uma função T(x, y) na direção de um vetor v é calculada usando o gradiente da função. O gradiente, representado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujas componentes são as derivadas parciais de T em relação a x e y.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . Precisamos encontrar as derivadas parciais e .
Primeiro, derivando em relação a x:
Agora, derivando em relação a y:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, precisamos normalizar o vetor para obter um vetor unitário na mesma direção. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude.
A magnitude de v é:
Então, o vetor unitário u é:

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional no ponto 1,1 é o produto escalar do gradiente de T nesse ponto com o vetor unitário u.
Primeiro, avaliamos o gradiente em 1,1:
Agora, calculamos o produto escalar com u:

Resposta

A taxa de variação da temperatura no ponto 1,1 na direção do vetor é graus Celsius por unidade de distância.

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