A temperatura (em graus Celsius) em um ponto
em uma placa de metal no plano
é
Determine a taxa de variação da temperatura em
na direção de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a taxa de variação da temperatura no ponto
na direção do vetor
. Vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos mostra como uma função muda em uma direção específica a partir de um ponto dado.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
é calculada usando o gradiente da função. O gradiente, representado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. Precisamos encontrar as derivadas parciais
e
.
Primeiro, derivando em relação a
:
Agora, derivando em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, precisamos normalizar o vetor
para obter um vetor unitário na mesma direção. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude.
A magnitude de
é:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional
no ponto
é o produto escalar do gradiente de
nesse ponto com o vetor unitário
.
Primeiro, avaliamos o gradiente em
:
Agora, calculamos o produto escalar com
:
Resposta
A taxa de variação da temperatura no ponto
na direção do vetor
é
graus Celsius por unidade de distância.
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Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
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b)
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