Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma ferramenta bem útil em matemática para analisar esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a nossa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão da série. Comparando com a nossa série , podemos reescrever os termos para ver isso melhor.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão . Podemos separar os termos do denominador:
Agora, a série fica:
Isso mostra que nossa série é uma série geométrica com e .

Passo 4

Agora, vamos lembrar que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge.

Passo 5

No nosso caso, a razão da série é . Sabemos que , então:
Então, temos .

Passo 6

Como , de acordo com o critério da série geométrica, a nossa série diverge. Isso significa que a soma dos termos da série não se aproxima de um valor finito à medida que adicionamos mais termos.

Resposta

A série diverge.

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