Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma ferramenta bem útil em matemática para analisar esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a nossa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão da série. Comparando com a nossa série
, podemos reescrever os termos para ver isso melhor.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
. Podemos separar os termos do denominador:
Agora, a série fica:
Isso mostra que nossa série é uma série geométrica com
e
.
Passo 4
Agora, vamos lembrar que uma série geométrica
converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
. Se
, a série diverge.
Passo 5
No nosso caso, a razão da série é
. Sabemos que
, então:
Então, temos
.
Passo 6
Como
, de acordo com o critério da série geométrica, a nossa série
diverge. Isso significa que a soma dos termos da série não se aproxima de um valor finito à medida que adicionamos mais termos.
Resposta
A série
diverge.