A temperatura na localização é (graus Celsius). Começando em no tempo (segundos), um inseto viaja ao longo de um círculo de raio 200 cm centrado na origem, a uma velocidade de . Quão rápido a temperatura está mudando no tempo ?
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função que descreve a temperatura em qualquer ponto no plano:
Além disso, um inseto começa no ponto no tempo segundos e se move ao longo de um círculo de raio 200 cm centrado na origem, com uma velocidade constante de . O que precisamos descobrir é: Quão rápido a temperatura está mudando no tempo segundos?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a temperatura muda em relação ao tempo . A temperatura depende das coordenadas e , que por sua vez dependem do tempo porque o inseto está se movendo.
Matematicamente, queremos encontrar a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, isto é, .
Passo 3
Usaremos a regra da cadeia para derivadas. A regra da cadeia nos diz que:
Aqui, e são as derivadas parciais da temperatura em relação a e , respectivamente, e e são as velocidades nas direções e .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Passo 5
Agora, precisamos encontrar e . Sabemos que o inseto se move em um círculo de raio 200 cm com velocidade constante de .
A posição do inseto em coordenadas polares é dada por:
Onde é a velocidade angular. A velocidade linear está relacionada com por:
Portanto,
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de e em relação ao tempo:
Substituindo :
Passo 7
Agora, vamos avaliar todas essas expressões no tempo segundos.
Primeiro, calculamos :
Então,
E as derivadas:
Passo 8
Agora, vamos substituir tudo na expressão para :
Simplificando:
Passo 9
Agora, substituímos x e y pelos valores em :
Substituindo na expressão:
Simplificando:
Passo 10
Finalmente, podemos calcular o valor numérico utilizando aproximações para as funções trigonométricas, já que é um ângulo bem pequeno:
Substituindo:
Calculando:
Resposta
A temperatura está diminuindo a uma taxa de aproximadamente graus Celsius por segundo no tempo segundos.