A temperatura na localização (x, y) é T(x, y) = 20 + 0 * 1 * (x^2 - x * y) (graus Celsius). Começando em 200,0 no tempo t = 0 (segundos), um inseto viaja ao longo de um círculo de raio 200 cm centrado na origem, a uma velocidade de 3 cm/s. Quão rápido a temperatura está mudando no tempo t = pi / 3 ?

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função que descreve a temperatura em qualquer ponto (x, y) no plano:
Além disso, um inseto começa no ponto no tempo segundos e se move ao longo de um círculo de raio 200 cm centrado na origem, com uma velocidade constante de . O que precisamos descobrir é: Quão rápido a temperatura está mudando no tempo segundos?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a temperatura T muda em relação ao tempo t. A temperatura depende das coordenadas x e y, que por sua vez dependem do tempo t porque o inseto está se movendo.
Matematicamente, queremos encontrar a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, isto é, .

Passo 3

Usaremos a regra da cadeia para derivadas. A regra da cadeia nos diz que:
Aqui, e são as derivadas parciais da temperatura em relação a x e y, respectivamente, e e são as velocidades nas direções x e y.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de T:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar e . Sabemos que o inseto se move em um círculo de raio 200 cm com velocidade constante de .
A posição do inseto em coordenadas polares é dada por:
Onde omega é a velocidade angular. A velocidade linear v está relacionada com omega por:
Portanto,

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de x e y em relação ao tempo:
Substituindo omega:

Passo 7

Agora, vamos avaliar todas essas expressões no tempo segundos.
Primeiro, calculamos :
Então,
E as derivadas:

Passo 8

Agora, vamos substituir tudo na expressão para :
Simplificando:

Passo 9

Agora, substituímos x e y pelos valores em :
Substituindo na expressão:
Simplificando:

Passo 10

Finalmente, podemos calcular o valor numérico utilizando aproximações para as funções trigonométricas, já que é um ângulo bem pequeno:
Substituindo:
Calculando:

Resposta

A temperatura está diminuindo a uma taxa de aproximadamente graus Celsius por segundo no tempo segundos.

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