Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função e classificá-los. Aqui, estamos lidando com Cálculo Multivariável, mais especificamente com o estudo de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar onde essas derivadas são iguais a zero (os pontos críticos) e então classificar esses pontos usando o Teste da Segunda Derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função .
  • Derivada parcial em relação a ( ):
  • Derivada parcial em relação a ( ):

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Simplificando as equações dividindo ambos os lados por 4:
Substituindo na segunda equação:
Isso resulta em:
Portanto, as soluções para são:
Correspondentes valores de :
  • Para : → Ponto crítico:
  • Para : → Ponto crítico:
  • Para : → Ponto crítico:

Passo 4

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o Teste da Segunda Derivada. Para isso, precisamos calcular as derivadas segundas da função:
O determinante da Hessiana (D) é dado por:
Vamos calcular em cada ponto crítico:
  1. Ponto :
    Como , o ponto é um ponto de sela.
  2. Ponto :
    Além disso, como , o ponto é um mínimo local.
  3. Ponto :
    Assim como no ponto anterior, indica um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Ponto de Sela
  • : Mínimo Local
  • : Mínimo Local

Exercícios relacionados

Mostre que não tem pontos críticos em . Em seguida, verifique se há estremos absolutos de em .
Encontre os pontos críticos de . Em seguida, classifique-o.
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(g) ,
.
Encontre os valores extremantes de restritos a .