Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função
e classificá-los. Aqui, estamos lidando com Cálculo Multivariável, mais especificamente com o estudo de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, encontrar onde essas derivadas são iguais a zero (os pontos críticos) e então classificar esses pontos usando o Teste da Segunda Derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
.
-
Derivada parcial em relação a
( ): -
Derivada parcial em relação a
( ):
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Simplificando as equações dividindo ambos os lados por 4:
Substituindo
na segunda equação:
Isso resulta em:
Portanto, as soluções para
são:
Correspondentes valores de
:
- Para
: → Ponto crítico: - Para
: → Ponto crítico: - Para
: → Ponto crítico:
Passo 4
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o Teste da Segunda Derivada. Para isso, precisamos calcular as derivadas segundas da função:
O determinante da Hessiana (D) é dado por:
Vamos calcular
em cada ponto crítico:
-
Ponto
: Como, o ponto é um ponto de sela. -
Ponto
: Além disso, como, o ponto é um mínimo local. -
Ponto
: Assim como no ponto anterior,indica um mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: Ponto de Sela -
: Mínimo Local -
: Mínimo Local
Exercícios relacionados
Mostre que
não tem pontos críticos em
. Em seguida, verifique se há estremos absolutos de
em
.
Encontre os pontos críticos de
. Em seguida, classifique-o.
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(g) ,
.
(g)
Encontre os valores extremantes de
restritos a
.