Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(g)
,
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos críticos da função
, onde
são números reais positivos. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente calculando as derivadas parciais da função em relação a cada variável e encontrando onde elas são iguais a zero. Esses pontos onde todas as derivadas parciais são zero são os pontos críticos. Depois, vamos classificar esses pontos para ver se são pontos de máximo, mínimo ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Simplificando:
De forma semelhante, as derivadas parciais em relação a
e
são:
Passo 3
Agora, vamos igualar cada derivada parcial a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando todas as equações por 3 para simplificar:
Passo 4
Observando as três equações, parece que há simetria entre
,
e
. Isso sugere que
. Vamos testar essa hipótese.
Se
, então
e
.
Substituindo na primeira equação:
Isso confirma que
satisfaz todas as equações. Portanto, o ponto crítico ocorre quando
.
Passo 5
Agora, vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos a matriz hessiana da função e verificamos sua definitude.
Calculando as segundas derivadas:
E similares para
e
. Como todos os termos são positivos para
, a matriz hessiana é definida positiva. Isso significa que o ponto crítico é um ponto de mínimo.
Resposta
O único ponto crítico da função ocorre quando
, e esse ponto é um ponto de mínimo.
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Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(b) .
(b)
Mostre que
não tem pontos críticos em
. Em seguida, verifique se há estremos absolutos de
em
.
Encontre os valores extremantes de
restritos a
.
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(e) .
(e)