Encontre os valores extremantes de
restritos a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função
, mas com a condição de que
. Isso é um problema de otimização com restrição, onde vamos usar um método chamado Multiplicadores de Lagrange para achar esses valores extremantes.
Passo 2
Primeiro, a gente vai montar a função de Lagrange. Essa função combina a função que queremos otimizar (
) com a restrição (
) usando um multiplicador, que vamos chamar de
. A fórmula fica assim:
Passo 3
Agora, a gente precisa encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
e igualar cada uma a zero. Isso vai nos dar um sistema de equações para resolver.
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Para que
, podemos dividir ambos os lados por
:
Agora, vamos achar
para cada valor de
:
- Para
:
Substituindo na restrição:
Então:
-
Se
, -
Se
, -
Para
:
Substituindo na restrição:
Então:
- Se
, - Se
,
Resposta
Os valores extremantes de
são:
- Máximo:
- Máximo:
- Mínimo:
- Mínimo:
Ou seja, os valores extremantes são 6 e -6.
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(g) ,
.
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