Encontre os valores extremantes de f(x, y) = x * y restritos a x^2 / 16 + y^2 / 9 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função , mas com a condição de que . Isso é um problema de otimização com restrição, onde vamos usar um método chamado Multiplicadores de Lagrange para achar esses valores extremantes.

Passo 2

Primeiro, a gente vai montar a função de Lagrange. Essa função combina a função que queremos otimizar ( ) com a restrição ( ) usando um multiplicador, que vamos chamar de . A fórmula fica assim:

Passo 3

Agora, a gente precisa encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , e e igualar cada uma a zero. Isso vai nos dar um sistema de equações para resolver.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Para que , podemos dividir ambos os lados por :
Agora, vamos achar para cada valor de :
  • Para :
Substituindo na restrição:
Então:
  • Se ,
  • Se ,
  • Para :
Substituindo na restrição:
Então:
  • Se ,
  • Se ,

Resposta

Os valores extremantes de são:
  • Máximo:
  • Máximo:
  • Mínimo:
  • Mínimo:
Ou seja, os valores extremantes são 6 e -6.

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