Mostre que
não tem pontos críticos em
. Em seguida, verifique se há estremos absolutos de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a função
não tem pontos críticos no conjunto
. Depois disso, precisamos verificar se existem extremos absolutos dessa função em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e análise de extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Pontos críticos de uma função são aqueles onde as derivadas parciais em relação a todas as variáveis iguais a zero ou onde as derivadas não existem. Então, para encontrar os pontos críticos de
, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e ver onde elas são zero ou não existem dentro de
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra do quociente e a cadeia:
Simplificando essa expressão para facilitar, percebemos que
nunca será zero no conjunto
, já que o numerador nunca se anula dentro de
.
Passo 4
De forma similar, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Assim como
,
também nunca será zero dentro de
, já que o numerador não zera nesse domínio.
Passo 5
Como nenhuma das derivadas parciais
e
se anula dentro de
, concluímos que a função
não possui pontos críticos em
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se existem extremos absolutos de
em
. Mesmo sem pontos críticos, precisamos analisar os limites e o comportamento da função nas bordas de
.
Passo 7
Observamos que à medida que
se aproxima de 0, o denominador
tende a zero, fazendo
tender ao infinito. Porém, como
, esse ponto não faz parte de
, então não há um valor máximo finito.
Passo 8
Além disso, quando
, temos
, logo
. Portanto, o mínimo da função em
é 0.
Resposta
A função
não possui pontos críticos no conjunto
e possui um mínimo absoluto igual a 0 em
, mas não possui máximo absoluto.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos críticos de
. Em seguida, classifique-o.
Mostre que se f tem um máximo local em
e as derivadas parciais de primeira ordem de
existem nesse ponto, então
para qualquer vetor
do
. Em seguida, conclua que
.
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(b) .
(b)
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(g) ,
.
(g)