Mostre que não tem pontos críticos em . Em seguida, verifique se há estremos absolutos de em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a função não tem pontos críticos no conjunto . Depois disso, precisamos verificar se existem extremos absolutos dessa função em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e análise de extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Pontos críticos de uma função são aqueles onde as derivadas parciais em relação a todas as variáveis iguais a zero ou onde as derivadas não existem. Então, para encontrar os pontos críticos de , precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e ver onde elas são zero ou não existem dentro de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usando a regra do quociente e a cadeia:
Simplificando essa expressão para facilitar, percebemos que nunca será zero no conjunto , já que o numerador nunca se anula dentro de .

Passo 4

De forma similar, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Assim como , também nunca será zero dentro de , já que o numerador não zera nesse domínio.

Passo 5

Como nenhuma das derivadas parciais e se anula dentro de , concluímos que a função não possui pontos críticos em .

Passo 6

Agora, vamos verificar se existem extremos absolutos de em . Mesmo sem pontos críticos, precisamos analisar os limites e o comportamento da função nas bordas de .

Passo 7

Observamos que à medida que se aproxima de 0, o denominador tende a zero, fazendo tender ao infinito. Porém, como , esse ponto não faz parte de , então não há um valor máximo finito.

Passo 8

Além disso, quando , temos , logo . Portanto, o mínimo da função em é 0.

Resposta

A função não possui pontos críticos no conjunto e possui um mínimo absoluto igual a 0 em , mas não possui máximo absoluto.

Exercícios relacionados

Encontre os pontos críticos de . Em seguida, classifique-o.
Mostre que se f tem um máximo local em e as derivadas parciais de primeira ordem de existem nesse ponto, então para qualquer vetor do . Em seguida, conclua que .
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(b) .
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(g) ,
.